ΑΡΜΟΝΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Χειμερινό Εξάμηνο 2011
Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.
E-mail: frantzikinakis@gmail.com.
Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Τετάρτη 9:00-11:00 στην Θ207.
Κύριο Σύγγραμμα:
E. Stein, R. Shakarchi,
Fourier Analysis: An Introduction.
Βοηθητικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Μ. Κολουντζάκη
εδώ.
Γραφείο: Η 308.
Ώρες γραφείου: Δευτέρα και Τετάρτη 11:00-12:00.
Ύλη: Σειρές Fourier στον κύκλo, βασικές ιδιότητες και σύγκλιση,
εφαρμογές, μετασχηματισμός Fourier στην πραγματική ευθεία, ανάλυση Fourier
σε πεπερασμένες ομάδες, το θεώρημα
του Dirichlet (Κεφάλαια 2-5 και συνοπτικά τα κεφάλαια 7, 8 από το κύριο σύγγραμμα).
Βαθμολογία: Πρόοδος 35% (γύρω στα μέσα Νοεμβρίου),
Τελικό διαγώνισμα 65%.
Ανακοινώσεις
26/10: Την Πέμπτη 3 Νοεμβρίου θα γίνει μάθημα ασκήσεων 1:00-3:00 στην Θ207.
2/11: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Δευτέρα 21 Νοεμβρίου
ώρα 9:15-11:00 στην Θ207 (παρακαλώ να είστε στην αίθουσα στις 9:10).
Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης.
Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες
που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη τη στιγμή.
Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.
7/11: Την επόμενη εβδομάδα τα μαθήματα (14/11 και 16/11) δεν θα γίνουν λόγο απουσίας του διδάσκοντα.
22/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.
13/12: Την Τετάρτη 14 Δεκεμβρίου θα γίνει μάθημα ασκήσεων 4:00-7:00 στην Θ207.
23/12: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Δευτέρα 16 Ιανουαρίου
ώρα 17:00-20:00 στο Αμφ ΣΠ.
Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης.
Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες
που καλύψαμε εκτός από τις εφαρμογές σε διαφορικές εξισώσεις.
Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.
17/1: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι βαθμοί του τελικού διαγωνίσματος και
οι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.
21/9: Τα θέματα του διαγωνίσματος της εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ. Oι βαθμοί είναι εδώ.
Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις
1η Εβδομάδα (26, 28 Σεπτεμβρίου): Επανάληψη σε βασικές έννοιες της ανάλυσης: Σειρές αριθμών, ομοιόμορφη σύγκλιση ακολουθιών και σειρών συναρτήσεων, ολοκλήρωμα Riemman. Προτεινόμενες ασκήσεις:
εδώ, εδώ, και εδώ.
2η Εβδομάδα (3, 5 Οκτωβρίου): Τριγωνομετρικές σειρές, συντελεστές Fourier, σειρές
Fourier, κριτήριο Abel, σύγκλιση και ιδιότητες τριγωνομετρικών σειρών. Σελίδες 29-37
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 58-61: 1, 2, 5, 8, 9, σελίδα 66: 2(α).
3η Εβδομάδα (10, 12 Οκτωβρίου): Ο πυρήνας του Dirichlet και ένα σχετικό παράδειγμα καλού πυρήνα, θεώρημα μοναδικότητας, συναρτήσεις με απολύτως συγκλίνουσα σειρά Fourier, ομαλότητα συνάρτησης και τάξη μεγέθους συντελεστών Fourier. Σελίδες 37-44
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 58-63: 4, 6, 10, 11, 15, σελίδα 65: 1(α).
4η Εβδομάδα (17, 19 Οκτωβρίου): Συνέλιξη συναρτήσεων, βασικές ιδιότητες,
καλοί πυρήνες και θεώρημα σύγκλισης, Cesaro αθροισιμότητα. Σελίδες 44-52
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδα 62: 4, 14(a), σελίδες 91-94: 12, 13, 14, 17.
5η Εβδομάδα (24, 26 Οκτωβρίου): Θεώρημα σύγκλισης Fejer και εφαρμογές,
κατά σημείο σύγκλιση σειράς Fourier στα σημεία παραγωγισιμότητας, αρχή τοπικότητας,
αρχή ομοιόμορφου
φράγματος και ύπαρξη αποκλίνουσας σειράς Fourier.
Σελίδες 52-54 και 81-87
από το κύριο σύγγραμμα.
6η Εβδομάδα (31 Οκτωβρίου, 2, 3 Νοεμβρίου): Χώροι με εσωτερικό γινόμενο,
Πυθαγόρειο θεώρημα, τριγωνική ανισότητα και ανισότητα Cauchy-Schwarz,
ορθοκανονικά σύνολα, ανισότητα Bessel, θεώρημα
βέλτιστης προσέγγισης, πλήρη ορθοκανονικά σύνολα, θεώρημα σύγκλισης και ταυτότητα Parseval, λύση ασκήσεων από το κεφάλαιο 2.
Σελίδες 69-78
από το κύριο σύγγραμμα.
Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 88-91: 3, 4 (a), (b), 7, 8, 9, 11, 14, σελίδα 95: 1.
7η Εβδομάδα (7, 9 Νοεμβρίου): Απόδειξη πληρότητας για το τριγωνομετρικό ορθοκανονικό σύστημα,
θεώρημα σύγκλισης σειράς Fourier κατά τετραγωνικό μέσο και ταυτότητα Parseval, λύση ασκήσεων από το κεφάλαιο 3.
Σελίδες 78-81
από το κύριο σύγγραμμα.
8η Εβδομάδα (14, 16 Νοεμβρίου): Δεν θα γίνουν μαθήματα λόγο απουσίας του διδάσκοντα.
9η Εβδομάδα (21, 23 Νοεμβρίου): Πρόοδος. Ισοπεριμετρικό πρόβλημα, εισαγωγή στην έννοια της ισοκατανομής ακολουθιών.
Σελίδες 100-107
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 121-123: 1, 5, 9.
10η Εβδομάδα (28, 30 Νοεμβρίου): Κριτήριο ισοκατανομής του Weyl,
λήμμα van der Corput, παραδείγματα ισοκατανεμημένων ακολουθιών (γραμμικές, τετράγωνα,
και τετραγωνικές ρίζες).
Σελίδες 107-113
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 122-124: 6, 8, 10, σελίδα 126: 3.
11η Εβδομάδα (5, 7 Δεκεμβρίου):
Ιδιότητες ολοκληρωμάτων στην ευθεία, μετασχηματισμός Fourier στην ευθεία, παραδείγματα,
βασικές ιδιότητες μετασχηματισμού Fourier.
Σελίδες 129-139
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 161-162: 1, 2, 4.
12η Εβδομάδα (12, 14 Δεκεμβρίου):
Ιδιότητες συνέλιξης συναρτήσεων στην ευθεία, καλοί πυρήνες και βασικό θεώρημα σύγκλισης,
θεώρημα σύγκλισης Fejer, θεώρημα μοναδικότητας, θεώρημα αντριστροφής,
τύπος Plancherel, λύση ασκήσεων από τα κεφάλαια 4 και 5.
Σελίδες 139-144
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 162-167: 3, 8, 21.
13η Εβδομάδα (19, 21 Δεκεμβρίου):
Τύπος άθροισης Poisson και εφαρμογές,
εξίσωση διάδοσης της θερμότητας (στον κύκλο και την ευθεία),
εξίσωση θερμότητας σταθερής κατάστασης (στον δίσκο και το πάνω ημιεπίπεδο).
Σελίδες 153-155 και συνοπτικά (δεν θα εξεταστούν) σελίδες 55-58, 118-120, 145-147, 149-151, 156-157
από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα,
σελίδες 162-167: 14, 15, 16, 19.