Συναρτησιακή Ανάλυση

Εαρινό Εξάμηνο 2014

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη Ε203 1:00-3:00 και Πέμπτη Ε203 3:00-5:00.

Bασικό Σύγγραμμα: Σημειώσεις Απόστολου Γιαννόπουλου εδώ.

Βοηθητικό Σύγγραμμα: Βασικές έννοιες μετρικών χώρων. Σημειώσεις Θεμιστοκλή Μήτση εδώ.

Γραφείο: Γ307.

Ώρες γραφείου: Τρίτη-Πέμπτη 12:00-1:00.

Ύλη: Επανάληψη βασικών εννοιών μετρικών χώρων και βασικά παραδείγματα, πλήρεις μετρικοί χώροι, το θεώρημα Baire και εφαρμογές, χώροι με νόρμα και παραδείγματα, χώροι Banach και σύγκλιση σειρών, χώροι πεπερασμένοι διάστασης, φραγμένοι τελεστές και συναρτησοειδή, παραδείγματα, χώροι Hilbert, προβολές και ορθογώνιο συμπλήρωμα, ορθοκανονικές βάσεις, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, το θεώρημα Hahn-Banach, διαχωριστικά θεωρήματα, θεώρημα ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές (κομμάτια από από τα Kεφάλαια 1-8 από το βασικό σύγγραμμα).

Βαθμολογία: Μία πρόοδος (35%) και ένα τελικό διαγώνισμα (65%).

Ανακοινώσεις

27/3: Η (υποχρεωτική) πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 6 Mαϊου 1:10-3:00. Μπορείτε να χρησιμοποιήσετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

7/5: Tα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί είναι εδώ.

7/5: Την επόμενη εβδομάδα δεν θα έχουμε μάθημα. Οι χαμένες ώρες θα αναπληρωθούν κάνοντας 3 ώρες τις επόμενες Πέμπτες.

17/5: Τελικό διαγώνισμα στις 24 Ιουνίου 13:00-16:00 στην Α214. Μπορείτε να φέρετε μία σελίδα με σημειώσεις σας.

29/5: Την Τρίτη 17 Ιουνίου θα έχουμε επαναληπτικό μάθημα ασκήσεων 15:00-17:00 στην Ε203.

25/6: Tα θέματα τoυ τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.

28/8: Το διαγώνισμα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 16 Σεπτέμβρη ώρα 17:00-20:00. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που έχουμε καλύψει. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και ο βαθμός της προόδου δεν θα μετρήσει.

17/9: Τα θέματα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ. Oι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (18, 20 Φεβρουαρίου): Παραδείγματα μετρικών χώρων πεπερασμένης διάστασης, διακριτή μετρική, ισοδύναμες μετρικές, σύγκλιση ακολουθιών σε μετρικό χώρο, ανοιχτά και κλειστά σύνολα και ιδιότητες, κλειστότητα, εσωτερικό, σύνορο. Σελίδες 5-20 από τις σημειώσεις Μήτση εδώ.

2η Εβδομάδα (25, 27 Φεβρουαρίου): Συνεχείς συναρτήσεις σε μετρικούς χώρους, διαχωρισιμότητα, πληρότητα, συμπάγεια, βασικές ανισότητες (Holder, Minkowski). Σελίδες 23-31 από τις σημειώσεις Μήτση εδώ και μέρος από την παράγραφο 1.2, 2.1 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 13-14: 1, 3, 7, 8, 9, 11, 12, 18, 19.

3η Εβδομάδα (4, 6 Μαρτίου): Bασικά παραδείγματα μετρικών χώρων άπειρης διάστασης, χώροι ακολουθιών και συναρτήσεων, διαχωρισιμότητα και συμπάγεια βασικών παραδειγμάτων. Μέρος από τις παραγράφους 1.2, 1.3 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 13-14: 13, 14, 15, 16, σελίδες 36-37: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8.

4η Εβδομάδα (11, 13 Μαρτίου): Πληρότητα βασικών παραδειγμάτων, το θεώρημα του Baire και εφαρμογές. Μέρος από τις παραγράφους 2.2, 2.4 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 36-37: 11, 12, 13, 14, 15, 16.

5η Εβδομάδα (18, 20 Μαρτίου): Επιπλέον εφαρμογές του θεωρήματος Baire, γραμμικοί χώροι, χώροι με νόρμα, χώροι Banach, παραδείγματα, βάσεις Hamel και βασικές ιδιότητες. Μέρος από τις παραγράφους 2.4, 3.1, 3.2 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 52-53: 2, 3, 4, 5, 6, 7, 9, 11.

6η Εβδομάδα (27 Μαρτίου): Σύγκλιση σειρών σε χώρους Banach, βάσεις Schauder, παραδείγματα βάσεων Schauder. Μέρος από τις παραγράφους 3.3 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 53: 10, 12, 13.

7η Εβδομάδα (1, 3 Απριλίου): Βασικές ιδιότητες χώρων πεπερασμένης διάστασης, ισοδυναμία νορμών, πληρότητα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας, μη συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε απειροδιάστατους χώρους, γραμμικοί τελεστές, φραγμένοι γραμμικοί τελεστές και ισοδυναμία με συνέχεια, παραδείγματα φραγμένων και μη φραγμένων γραμμικών τελεστών σε απειροδιάστατους χώρουs. Μέρος από τις παραγράφους 4.1, 4.2, 5.1 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 65-66: 1, 2, 3, 4, 5, σελίδες 81-82: 1, 2, 5, 6, 7, 9, 13.

8η Εβδομάδα (8, 10 Απριλίου): Γραμμικά συναρτησοειδή, δυικοί χώροι, πληρότητα, ισομετρικοί ισομορφισμοί, βασικά παραδείγματα δυικών χώρων. Μέρος από τις παραγράφους 5.2, 5.3 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 81-82: 3, 4, 8, 10, 11, 12.

9η Εβδομάδα (29 Απριλίου): Επαναληπτικές ασκήσεις από τα 5 πρώτα κεφάλαια.

10η Εβδομάδα (6, 8 Μαϊου): Πρόοδος. Χώροι με εσωτερικό γινόμενο, παραδείγματα, καθετότητα, ορθοκανονικά σύνολα, μέθοδος ορθοκανικοποίησης Grahm-Schmidt, προβολές σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, ανισότητα Bessel. Μέρος από τις παραγράφους 6.1, 6.2 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 98-99: 1, 2, 3, 4, 5, 12.

11η Εβδομάδα (21, 23 Μαϊου): Πρόοδος. Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, ορθοκανονικές βάσεις, ταυτότητα Parseval, συντελεστές Fourier, εφαρμογές, λήμμα του Zorn, ύπαρξη βάσης Hamel, επέκτασεις γραμμικών συναρτησοειδών. Μέρος από τις παραγράφους 6.3, 6.4, 6.5, 7.1 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 98-100: 9, 10, 13, 14, 15, 16, 17, 18.

12η Εβδομάδα (27, 29 Μαϊου): Θεώρημα Hahn-Banach και εφαρμογές, πεπερασμένα προσθετικά μέτρα, Banach limits, αρχή ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές, αποκλίνουσες σειρές Fourier. Μέρος από τις παραγράφους 7.2, 7.3 (α) και (γ), 8.1 από το κύριο σύγγραμμα. Προτεινόμενες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμμα, σελίδες 119-120: 4, 5, 8, 11, 133-134: 1, 2, 3, 4, 5, 6.