ΣΥΝΑΡΤΗΣΙΑΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ

Εαρινό Εξάμηνο 2015

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Τρίτη 11:15-13:00 στην Β214 και Πέμπτη 11:15-13:00 στην Ε205.

Βασικό Συγγράμα:
(1) Σημειώσεις Γιαννόπουλου εδώ.

Βοηθητικά Συγγράματα:
(2) J. Conway, Functional Analysis. Graduate Texts in Mathematics v. 96.
(3) P. Lax, Functional Analysis. Wiley Series.

Γραφείο: Γ307.

Ύλη: (I) Xώροι Banach: Κλασικά παραδείγματα, διαχωρισιμότητα, συμπάγεια, βάσεις Hamel και βάσεις Schauder, χώροι πεπερασμένης διάστασης, θεώρημα Baire και εφαρμογές.
(IΙ) Τελεστές σε χώρους Banach: Φραγμένοι γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, κλασικοί δυϊκοί χώροι, αρχή ομοιόμορφου φράγματος, θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης και κλειστού γραφήματος, θεώρημα Hahn-Banach, διαχωριστικά θεωρήματα, θεωρήματα σταθερού σημείου, εφαρμογές.
(IΙI) Xώροι Hilbert και συμπαγείς τελεστές: χώροι Hilbert, προβολές και ορθογώνιο συμπλήρωμα, ορθοκανονικές βάσεις, τύπος Parseval, θεώρημα αναπαράστασης του Riesz, συζυγής τελεστής, εργοδικό θεώρημα von Neumann, τελεστές Hilbert-Schmidt, συμπαγείς τελεστές και φασματικό θεώρημα για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές.
(IV) Προχωρημένα θέματα: Η ασθενής και ασθενής* τοπολογία, ασθενής συμπάγεια, δεύτερος δυϊκός και αυτοπαθείς χώροι, τοπικά κυρτοί χώροι, ακραία σημεία, θεώρημα Krein-Milman, ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις και εφαρμογές.

Έμφαση θα δοθεί και σε εφαρμογές της συναρτησιακής ανάλυσης σε άλλους τομείς των μαθηματικών: πραγματικές συναρτήσεις, θεωρία προσέγγισης, θεωρία μέτρου, ανάλυση Fourier, μιγαδική ανάλυση, διαφορικές και ολοκληρωτικές εξισώσεις, κτλ.

Βαθμολογία: Ασκήσεις: 20%, Πρόοδος: 30%, Τελικό διαγώνισμα: 50%.

Ανακοινώσεις

04/02: Θα ξεκινήσουμε την επόμενη Τρίτη 10 Φεβρουαρίου 11:15-13:00 στην αίθουσα Β214. Παρακαλώ κάντε μία επανάληψη σε κάποιες βασικές ανισότητες και βασικές έννοιες θεωρίας μέτρου (δείτε εδώ) και μετρικών χώρων (δείτε τα πρώτα δύο κεφάλαια εδώ και σελίδες 1-31 εδώ).

31/03: Πρόοδος την Παρασκευή 24 Απριλίου 14:00-17:00 στην αίθουσα Β212.

25/04: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.

28/04: Λόγω απουσίας μου σε συνέδριο την επόμενη εβδομάδα δεν θα γίνουν μαθήματα (θα αναπληρωθούν αργότερα).

23/05: Τελικό διαγώνισμα την Δευτέρα 22 Ιουνίου 12:00-16:00 στην αίθουσα Β212.

28/05: Ασκήσεις την Τετάρτη 17 Ιουνίου 12:00 στην αίθουσα Β212.

23/06: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος

1η Εβδομάδα (10, 12 Φεβρουαρίου): Επανάληψη σε βασικές ανισότητες (Holder, Minkowski), βασικές έννοιες μετρικών χώρων (πληρότητα, διαχωρισιμότητα, συμπάγεια), και βασικές έννοεις θεωρίας μέτρου (χώροι μέτρου, κανονικά μέτρα, οριακά θεωρήματα και θεωρήματα προσέγγισης), χώροι με νόρμα, βασικές ιδιότητες, κλασικά παραδείγματα, χώροι ακολουθιών, χώροι συναρτήσεων (μέρος από την παράγραφο 1.1 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

2η Εβδομάδα (17, 19 Φεβρουαρίου): Χώροι Banach, απόδειξη πληρότητας για κλασικά παραδείγματα, διαχωρισιμότητα και συμπάγεια, παραδείγματα (μέρος από την παράγραφο 1.1 και 1.4 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

3η Εβδομάδα (24, 26 Φεβρουαρίου): Bάσεις Hamel και βάσεις Schauder, παραδείγματα, βασικές ιδιότητες χώρων πεπερασμένης διάστασης, ισοδυναμία νορμών, πληρότητα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας, μη συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε απειροδιάστατους χώρους (μέρος από την παράγραφο 1.3 και 4.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και αντίστοιχες παράγραφοι από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

4η Εβδομάδα (3, 5 Μαρτίου): Το θεώρημα Baire και εφαρμογές (θεώρημα Osgood, συνεχείς πουθενά παραγωγίσιμες συναρτήσεις), γραμμικοί τελεστές και συναρτησοειδή, βασικές ιδιότητες και παραδείγματα (μέρος από την παράγραφο 1.2 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφοι 2.4, 5.1, 5.2 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

5η Εβδομάδα (10, 12 Μαρτίου): Πληρότητα δυικού χώρου, ο δυικός των χώρων l_p, C[a,b], L_p[a,b] (μέρος από τις παραγράφους 2.5, 6.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφο 5.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

6η Εβδομάδα (17, 19 Μαρτίου): Αρχή ομοιόμορφου φράγματος και εφαρμογές (αποκλίνουσες σειρές Fourier), θεώρημα ανοιχτής απεικόνισης και εφαρμογές (μετασχηματισμός Fourier δεν είναι επί του c_0) (μέρος από τις παραγράφους 3.1, 3.2 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφοι 8.1, 8.2 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

7η Εβδομάδα (24, 26 Μαρτίου): Θεώρημα κλειστού γραφήματος και εφαρμογές, λήμμα Zorn και εφαρμογές (ύπαρξη βάσης Hamel, επεκτάσεις συναρτησοειδών), θεώρημα Hahn-Banach και εφαρμογές στην συναρτησιακή ανάλυση (χαρακτηρισμός κλειστότητας γραμμικού χώρου, διαχωρισιμότητα δυικού συνεπάγεται διαχωρισιμότητα χώρου) (μέρος από τις παραγράφους 3.2, 2.2, 2.3 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και παράγραφοι 7.1, 7.2, 7.3, 8.3 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

8η Εβδομάδα (31 Μαρτίου, 2 Απριλίου): Εφαρμογές Hahn-Banach (Banach-limits, πεπερασμένα προσθετικά μέτρα στην ευθεία, θεωρήματα προσέγγισης Muntz και Runge), διαχωριστικά θεωρήματα (μέρος από την παραγράφο 2.4 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου, την παράγραφο 7.4 από τις προπτυχιακές σημειώσεις, και τις παραγράφους 3.3, 4.2, 4.3, 9.1, 9.2, 9.3 από το βιβλίο του Lax).

9η Εβδομάδα (21, 23 Απριλίου): Χώροι με εσωτερικό γινόμενο, παραδείγματα, καθετότητα, ορθοκανονικά σύνολα, μέθοδος ορθοκανικοποίησης Grahm-Schmidt, προβολές σε χώρους πεπερασμένης διάστασης, ανισότητα Bessel, προβολές και θεώρημα διάσπασης, ορθοκανονικές βάσεις, ταυτότητα Parseval, συντελεστές Fourier, εφαρμογές σε αρμονική ανάλυση, Θεώρημα αναπαράστασης του Riesz. (μέρος από την παραγράφο 1.6 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου και τις παραγράφους 6.1, 6.2, 6.3, 6.4, 6.5 από τις προπτυχιακές σημειώσεις).

10η Εβδομάδα (28, 30 Απριλίου): Bασικά παραδείγματα τελεστών σε χώρους Hilbert (πεπερασμένης διάστασης, διαγώνιοι, πολλαπλασιασμού, ολοκληρωτικοί, μεταφοράς, μετασχηματισμοί που διατηρούν κάποιο πεπερασμένο μέτρο), συζυγής τελεστής και παραδείγματα, αυτοσυζυγείς, μοναδιαίοι, και φυσιολογικοί τελεστές και παραδείγματα, θεώρημα σύγκλισης von Neumann για ισομετρίες και εφαρμογή στην εργοδική θεωρία (εργοδικό θεώρημα), συμπαγείς τελεστές, ικανές και αναγκαίες συνθήκες για συμπάγεια διαγώνιων τελεστών, τελεστές Hilbert Schmidt, συμπάγεια ολοκληρωτικών τελεστών (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.1, ΙΙ.2, ΙΙ.4 από το βιβλίο του Conway).

11η Εβδομάδα (12, 14 Μαϊου): Ιδιοτιμές και ιδιοδιανύσματα για αυτοσυζυγείς και συμπαγείς τελεστές, ύπαρξη ιδιοτιμής και θεώρημα διαγωνιοποίησης για συμπαγείς αυτοσυζυγείς τελεστές, ιδιοτιμές και αντιστρεψιμότητα για συμπαγείς τελεστές, εφαρμογή σε ολοκληρωτικές εξισώσεις (εξίσωση Fredholm) (μέρος από τις παραγράφους ΙΙ.4, ΙΙ.5 από το βιβλίο του Conway).

12η Εβδομάδα (19, 21 Μαϊου): Αυτοπαθείς χώροι και παραδείγματα, ασθενής ακολουθιακή σύγκλιση και παραδείγματα, ασθενής ακολουθιακή συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε αυτοπαθείς χώρους, προσεγγισιμότητα σε αυτοπαθείς χώρους, ασθενής* ακολουθιακή σύγκλιση και παραδείγματα, συμπάγεια μοναδιαίας μπάλας σε δυϊκό διαχωρίσιμου χώρου. (μέρος από τις παραγράφους 8.3, 10.1, 10.2, 10.3 από το βιβλίο του Lax).

13η Εβδομάδα (26, 28 Μαϊου): Στοιχεία γενικής τοπολογίας, ασθενής και ασθενής* τοπολογία, θεώρημα Alaoglou, τοπολογικοί διανυσματικοί χώροι, τοπικά κυρτοί χώροι, διαχωριστικά θεωρήματα, χώροι Frechet, συμπαγή κυρτά σύνολα, ακραία σημεία, θεώρημα Krein-Milman και εφαρμογές (Θεώρημα Stone-Weirstrass), ολοκληρωτικές αναπαραστάσεις και εφαρμογές (θετικά ορισμένες ακολουθίες, ισχυρά μονότονες συναρτήσεις) (μέρος από τις παραγράφους 10, 11, 12, 13, 14, 16 από τις σημειώσεις του Μήτση, το κεφάλαιο 6 από τις μεταπτυχιακές σημειώσεις του Γιαννόπουλου, και τις παραγράφους 14.3, 14.4 από το βιβλίο του Lax).

Φυλλάδια Ασκήσεων