Μιγαδική Ανάλυση

Χειμερινό Εξάμηνο 2012

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.

Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα 1:00-3:00 και Τετάρτη 9:00-11:00 στην Θ207.

Ασκήσεις: Παρασκευή 3:00-5:00 στο Αμφ ΣΠ.

Βοηθός: Τάσος Μπενέας.

Κύριο Σύγγραμμα: Μιγαδική Ανάλυση, Bak και Newman, ΠΕΚ. Αντίτυπα υπάρχουν στην κλειστή βιβλιοθήκη.

Βοηθητικό Σύγγραμμα: Μιγαδικές συναρτήσεις και εφαρμογές, Churchill και Brown, ΠΕΚ. Συνίσταται ιδιαίτερα εάν θέλετε να δείτε περισσότερα παραδείγματα και ποιο εύκολες ασκήσεις από το κύριο σύγγραμα. Αντίτυπα υπάρχουν στην κλειστή βιβλιοθήκη.

Γραφείο: Η 308.

Ώρες γραφείου: Δευτέρα και Τετάρτη 11:00-12:00.

Ύλη: Ιδιότητες μιγαδικών αριθμών, στοιχειώδεις συναρτήσεις, στοιχειώδης τοπολογία μιγαδικού επιπέδου, όρια και συνέχεια, δυναμοσειρές, παράγωγος μιγαδικών συναρτήσεων, συνθήκες Cauchy-Riemann, ολοκλήρωμα μιγαδικών συναρτήσεων, θεώρημα Cauchy-Goursat για κάποιες "στοιχειώδεις" καμπύλες, ολοκληρωτικός τύπος Cauchy, θεώρημα Liouville, θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, ιδιότητες δυναμοσειρών, ανάπτυγμα Taylor, θεώρημα μοναδικότητας, θεώρημα μέσης τιμής, αρχή μεγίστου, μεμονωμένες ανωμαλίες, ανάπτυγμα Laurent, ολοκληρωτικά υπόλοιπα και εφαρμογές σε υπολογισμό ολοκληρωμάτων και σειρών (κομμάτια από τα Κεφάλαια 1-11 του βιβλίου των Bak και Neuman, και τα κεφάλαια 1-7 του βιβλίου των Churchill και Brown).

Βαθμολογία: Πρόοδος 35%, Τελικό διαγώνισμα 65%.

Ανακοινώσεις


22/9: Τις δύο πρώτες εβδομάδες οι διαλέξεις της Παρασκευής θα γίνουν από εμένα.

5/10: Την επόμενη εβδομάδα θα κάνετε δύο δίωρα ασκήσεων με τον βοηθό την Τετάρτη και την Παρασκευή τις ώρες του μαθήματος. Την Δευτέρα δεν θα γίνει μάθημα.

24/10: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Παρασκευή 23 Νοεμβρίου ώρα 5:00-7:00 στα αμφιθέατρα Α και Γ (το μάθημα ασκήσεων δεν θα γίνει εκείνη την ημέρα). Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη την στιγμή. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

27/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.

17/12: Τo τελευταίο μάθημα ασκήσεων με τον βοηθό θα πραγματοποιηθεί αυτήν την Τετάρτη 19 Δεκεμβρίου στην αίθουσα Θ202 ώρα 1:00-3:00.

23/12: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Τρίτη 15 Ιανουαρίου ώρα 17:00-20:00 στο Αμφ ΒΞ. Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που καλύψαμε. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μία σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

21/01: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι τελικοί σας βαθμοί είναι εδώ.

19/06: Τα αποτελέσματα της ειδικής εξέτασης του Ιουνίου είναι εδώ.

10/9: Το διαγώνισμα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη θα πραγματοποιηθεί τo Κυριακή 15 Σεπτέμβρη ώρα 13:00-16:00. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που έχουμε καλύψει και ο βαθμός της προόδου δεν μετράει. Το διαγώνισμα θα είναι ανάπτυξης και επιτρέπεται να χρησιμοποιήσετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

16/09: Τα θέματα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ. Τα αποτελέσματα είναι εδώ.

Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

Οι αναφορές σε παραγράφους και ασκήσεις είναι από την ελληνική έκδοση των βιβλίων (1η έκδοση Bak και Newman, 2η έκδοση Churchill και Brown).

1η Εβδομάδα (24, 26, 28 Σεπτεμβρίου): Διάφορα ιστορικά στοιχεία, μιγαδικοί αριθμοί, αλγεβρικές ιδιότητες, μιγαδικό επίπεδο, πολική και εκθετική μορφή μιγαδικού αριθμού, όρισμα και ιδιότητες.
Bak και Newman. Παρ. 1.1-1.2. Aσκήσεις. Κεφ. 1: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 13, 14.
Churchill και Brown. Παρ. 1.1-1.6. Aσκήσεις. Παρ. 1.3-1.4: 4, 10, 17, 18, 19. Παρ. 1.5-1.7: 1, 2, 8.

2η Εβδομάδα (1, 3, 5 Οκτωβρίου): Τύπος de Moivre και εφαρμογές, νιοστές ρίζες της μονάδας, η εκθετική συνάρτηση, ημίτονο και συνημίτονο μιγαδικού αριθμού, η λογαριθμική συνάρτηση, μιγαδικοί εκθέτες, αντίστροφες τριγωνομετρικές, ακολουθίες μιγαδικών, όρια και ιδιότητες.
Bak και Newman. Δεν ακολουθήσαμε αυτό το βιβλίο αυτήν την εβδομάδα.
Churchill και Brown. Παρ. 1.7, 3.22, 3.23, 3.24, 3.26 , 3.27, 3.28, 3.29. Aσκήσεις. Παρ. 1.5-1.7: 3, 4, 5, 6, 14, 15, 16, 18, 20, Παρ. 3.22-3.23: 1, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10, Παρ. 3.24: 2, 5, 7, 9, 10, 12, 14, 15, Παρ. 3.26-3.27: 1, 2 , 3, 4, 5, 7, 9, 16, 18, Παρ. 3.28-3.29: 1, 2, 3, 6, 8, 11, 12.

3η Εβδομάδα (8, 10 Οκτωβρίου): Έγιναν μόνο ασκήσεις

4η Εβδομάδα (15, 17 Οκτωβρίου): Σειρές και δυναμοσειρές μιγαδικών αριθμών, όρια μιγαδικών συναρτήσεων, συνέχεια, παράγωγος μιγαδικών συνάρτησεων και σχέση με παράγωγο πραγματικών συναρτήσεων στο επίπεδο, παραδείγματα.
Bak και Newman. Παρ. 1.3, 2.1, 2.2. Aσκήσεις. Κεφ. 2: 5, 8, 9, 10, 12, 13, 20.
Churchill και Brown. Παρ. 2.11, 2.12, 2.13, 2.14, 2.15, 2.16, 5.44. Aσκήσεις. Παρ. 2.11-2.14: 5, 8, 10, Παρ. 2.15-2.16: 3, 7, 8.

5η Εβδομάδα (22, 24 Οκτωβρίου): Κανόνες παραγώγισης, συνθήκες Cauchy Riemann και εφαρμογές, αρμονικές συναρτήσεις, παράγωγος βασικών συναρτήσεων, παραγώγιση δυναμοσειράς, δυναμοσειρές βασικών συναρτήσεων.
Bak και Newman. Παρ. 2.3, 3.1, 3.2. Aσκήσεις. Κεφ. 3: 2, 4, 6, 8, 10.
Churchill και Brown. Παρ. 2.17, 2.18, 2.20, 2.21, 5.46, 5.50. Aσκήσεις. Παρ. 2.17-2.19: 1, 6, 10, Παρ. 2.20-2.21: 2, 8, Παρ. 5.46: 5, 10, 11.

6η Εβδομάδα (29, 31 Οκτωβρίου): Ομοιόμορφη σύγκλιση συναρτήσεων και δυναμοσειρών, μιγαδικές καμπύλες, ισοδύναμες καμπύλες, επικαμπύλιο ολοκλήρωμα και ιδιότητες, παραδείγματα.
Bak και Newman. Παρ. 4.1. Aσκήσεις. Κεφ. 4: 1, 2, 3, 4, 6.
Churchill και Brown. Παρ. 4.30, 4.31, 4.32, 4.33, 5.49, 5.50. Aσκήσεις. Παρ. 4.30-4.31: 1, 2, 7, 8, 10, Παρ. 4.32-4.33: 1, 2, 9, 10, 11, 13, 15, 16.

7η Εβδομάδα (5, 7 Νοεμβρίου): Παράγουσες μιγαδικών συναρτήσεων, το θεώρημα κλειστής καμπύλης για συναρτήσεις που αναπτύσσονται σε δυναμοσειρά, το θεώρημα τριγώνου (Cauchy-Goursat), το θεώρημα κλειστής καμπύλης σε αστρόμορφα χωρία, εφαρμογές σε υπολογισμό μιγαδικών ολοκληρωμάτων.
Bak και Newman. Παρ. 4.1, 4.2. Aσκήσεις. Κεφ. 4: 7, 8, 9.
Churchill και Brown. Παρ. 4.34, 4.35, 4.36, 4.37, 4.38. Aσκήσεις. Παρ. 4.34-4.38: 1, 2, 3, 4, 5.

8η Εβδομάδα (12, 14 Νοεμβρίου): Ο ολοκληρωτικός τύπος του Cauchy για τον κύκλο και άλλες "στοιχειώδεις" κλειστές καμπύλες, εφαρμογές σε υπολογισμό μιγαδικών και πραγματικών ολοκληρωμάτων, παράγωγοι αναλυτικών συναρτήσεων, ο ολοκληρωτικός τύπος Cauchy για τις παραγώγους και σχετικές εκτιμήσεις.
Bak και Newman. Παρ. 5.1, 5.2. Aσκήσεις. Κεφ. 5: 6, 8, 9, 10.
Churchill και Brown. Παρ. 4.39, 4.40, 4.43. Aσκήσεις. Παρ. 4.39-4.40: 1, 2, 3, 9.

9η Εβδομάδα (19, 21 Νοεμβρίου): Το θεώρημα Liouville και το θεμελιώδες θεώρημα της άλγεβρας, το θεώρημα Morera, ανάπτυγμα σε δυναμοσειρά ολόμορφων συναρτήσεων, επαναληπτικές ασκήσεις για την πρόοδο.
Bak και Newman. Παρ. 6.1, 6.2. Aσκήσεις. Κεφ. 6: 1, 2.
Churchill και Brown. Παρ. 4.43, 5.45, 5.46. Aσκήσεις. Παρ. 4.42-4.43: 6, Παρ. 5.45-5.46: 3, 4.

10η Εβδομάδα (26, 28 Νοεμβρίου): Το σύνολο τιμών ακέραιας συνάρτησης, αρχή ταύτισης και εφαρμογές, αρχή μεγίστου-ελαχίστου και εφαρμογές, λήμμα Schwarz.
Bak και Newman. Παρ. 6.3, 7.1. Aσκήσεις. Κεφ. 6: 4, 5, Κεφ 7: 6.
Churchill και Brown. Παρ. 4.42. Aσκήσεις. Παρ. 4.42-4.43: 3, 4, 5.

11η Εβδομάδα (3, 5 Δεκεμβρίου): Μεμονωμένες ιδιομορφίες αναλυτικών συναρτήσεων, αιρόμενη ιδιομορφία, πόλος και ουσιώδης ιδιομορφία, θεώρημα Riemann, θεώρημα Casorati Weirstrass, παραδείγματα.
Bak και Newman. Παρ. 9.1. Aσκήσεις. Κεφ. 9: 2, 3, 4, 5, 6, 10.
Churchill και Brown. Παρ. 6.53, 6.55, 6.57. Aσκήσεις. Παρ. 6.53-6.55: 1, 2, 6.56-6.57: 1.

12η Εβδομάδα (10, 12 Δεκεμβρίου): Ανάπτυγμα Laurent, μελέτη ιδιομορφιών με βάση το ανάπτυγμα Laurent, ολοκληρωτικά υπόλοιπα, το θεώρημα του ολοκληρωτικού υπολοίπου.
Bak και Newman. Παρ. 9.2, 10.1. Aσκήσεις. Κεφ. 9: 7, 8, Κεφ. 10: 1, 2.
Churchill και Brown. Παρ. 5.47, 6.53, 6.54, 6.55, 6.56, 6.57. Aσκήσεις. Παρ. 5.47-5.48: 4, 6, 6.53-6.55: 3, 4, 8, 6.56-6.57: 3,12, 14.

13η Εβδομάδα (17, 19 Δεκεμβρίου): Τύπος υπολογισμού ολοκληρωτικού υπολοίπου, εφαρμογές ολοκληρώτικων υπολοίπων σε υπολογισμό γενικευμένων ολοκληρωμάτων και σειρών, επαναληπτικές ασκήσεις για το τελικό διαγώνισμα.
Bak και Newman. Παρ. 11.1, 11.2. Aσκήσεις. Κεφ. 11: 3, 6 (a), (b).
Churchill και Brown. Παρ. 6.58, 6.59, 6.60. Aσκήσεις. Παρ. 6.58-6.59: 2, 7, 18 6.60: 3, 4, 8, 11.