Πραγματική Ανάλυση

Χειμερινό Εξάμηνο 2014

Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.

E-mail: frantzikinakis@gmail.com.


Ώρες διδασκαλίας: Δευτέρα και Τετάρτη 11:00-13:00 στην Α208.

Κύριο Σύγγραμμα: N. Carothers, Real Analysis (θα χρειαστούμε μόνο το Part III), εδώ.

Βοηθητικό Σύγγραμμα : Σημειώσεις Θ. Μήτση εδώ.

Γραφείο: Γ 307.

Ώρες γραφείου: Δευτέρα και Τετάρτη 15:00-16:00.

Ύλη: Μέτρο Lebesgue στην ευθεία, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue, οριακά θεωρήματα, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue.

Βαθμολογία: Πρόοδος 35%, Τελικό διαγώνισμα 65%.


Ανακοινώσεις


30/9: Την επόμενη εβδομάδα δεν θα γίνει το μάθημα της Δευτέρας και της Τετάρτης (θα αναπληρωθούν αργότερα) διότι θα λείπω σε συνέδριο.

6/11: Την Τετάρτη 19 Νοεμβρίου δεν θα κάνουμε μάθημα, θα αναπληρωθεί την Πέμπτη 20 Νοεμβρίου 9:00-11:00 στην Α208.

6/11: Τα δύο μαθήματα που έχουμε χάσει θα αναπληρωθούν την Πέμπτη 4 και 11 Δεκεμβρίου στις 9:00-11:00 στην Α208.

12/11: Η πρόοδος θα πραγματοποιηθεί την Τετάρτη 26 Νοεμβρίου ώρα 11:00-13:00 στην Α208 (παρακαλώ να είστε στην αίθουσα στις 11:00). Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει τις ενότητες που θα έχουμε καλύψει μέχρι εκείνη την στιγμή. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

27/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ. Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.

3/12: Το τελικό διαγώνισμα θα πραγματοποιηθεί την Πέμπτη 29 Ιανουαρίου ώρα 10:00-13:00 στην A214-16. Όλα τα θέματα θα είναι ανάπτυξης. Η εξεταστέα ύλη περιλαμβάνει όλες τις ενότητες που καλύψαμε. Στο διαγώνισμα επιτρέπεται να φέρετε μια σελίδα με διάφορες σημειώσεις σας.

30/1: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ. Oι τελικοί βαθμοί είναι εδώ. 10/9: Τα θέματα του διαγωνίσματοςτης εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ. Oι τελικοί βαθμοί είναι εδώ.




Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις

1η Εβδομάδα (22, 24 Σεπτεμβρίου): Επανάληψη σε ιδιότητες αριθμήσιμων συνόλων και βασικές τοπολογικές έννοιες στην πραγματική ευθεία.

2η Εβδομάδα (29 Σεπτεμβρίου, 1 Οκτωβρίου): Ορισμός εξωτερικού μέτρου, βασικές ιδιότητες, το σύνολο του Cantor (σελίδες 25-29 και 263-273 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 271-272: 5, 9, 12, 16, 17, 18, 20, 21, σελίδες 273: 22, 25, 28.

3η Εβδομάδα (13, 15 Οκτωβρίου): Βασικές ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, προσθετικότητα μέτρου Lebesgue (σελίδες 277-283 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 281-283: 40, 41, 42, 44, 46.

4η Εβδομάδα (20, 22 Οκτωβρίου): Σύνολα Borel, δομή μετρήσιμων συνόλων, επιπλέον ιδιότητες μέτρου Lebesgue και θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συνόλων (σελίδες 280-286 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 282-283: 48, 53, σελίδα 284: 56, 58, 59, 60.

5η Εβδομάδα (27, 29 Οκτωβρίου): Μη μετρήσιμα σύνολα, μη προσθετικότητα εξωτερικού μέτρου. Ασκήσεις στο εξωτερικό μέτρο και μέτρο Lebesgue (σελίδες 284-286 και 289-291 από το βιβλίο του Carothers και ασκήσεις 72, 74). Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Μήτση, σελίδα 10: 2, 3, 4, 8, 9, 11.

6η Εβδομάδα (3, 5 Νοεμβρίου): Ασκήσεις στο εξωτερικό μέτρο και μέτρο Lebesgue, μετρήσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες (σελίδες 296-298, 300-302, και 304-305 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 297-298: 5, 6, 7, 8, σελίδα 302: 19, 21, σελίδα 305: 31, 33.

7η Εβδομάδα (10, 12 Νοεμβρίου): Οι Riemann ολοκληρώσιμες είναι μετρήσιμες, η συνάρτηση Cantor-Lebesgue και ιδιότητες της, θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συναρτήσεων από απλούστερες συναρτήσεις (απλές, κλιμακωτές, συνεχείς), θεώρημα Egorov και θεώρημα Luzin (σελίδες 305-309 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 299: 15-18, σελίδα 306: 36, 38, σελίδες 309-310: 41, 43, 48, 50.

8η Εβδομάδα (20 Νοεμβρίου): Ασκήσεις στις μετρήσιμες συναρτήσεις.

9η Εβδομάδα (24, 26 Νοεμβρίου): Πρόοδος.Ολοκλήρωμα Lebesgue για απλές συναρτήσεις και βασικές ιδιότητες. (σελίδες 312-314 από το βιβλίο του Carothers).

10η Εβδομάδα (1, 3, 4 Δεκεμβρίου): Oλοκλήρωμα Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, θεώρημα μονότονης σύγκλισης, γραμμικότητα, εφαρμογές, oλοκλήρωμα Lebesgue για μετρήσιμες συναρτήσεις, σχέση με ολοκλήρωμα Riemann, λήμμα Fatou, θεώρημα φραγμένης και κυριαρχημένης σύγκλισης, εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος, εφαρμογές. (σελίδες 315-330 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 312-320: 3, 4, 5, 6, 9-17, σελίδα 327: 24-26, 29-32, 34, 35.

11η Εβδομάδα (8, 10, 11 Δεκεμβρίου): θεωρήματα προσέγγισης και εφαρμογές, ο χώρος L^1, πληρότητα και διαχωρισιμότητα, οι χώροι L^p, ασκήσεις σε ολοκληρώματα. (σελίδες 330-335, 342-351 από το βιβλίο του Carothers). Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 332-335: 38-43, 45, 46, 50, 56-59.

12η Εβδομάδα (15, 17 Δεκεμβρίου): Λήμμα κάλυψης Vitali, μεγιστική συνάρτηση, βασική μεγιστική ανισότητα, το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας. Μετασχηματισμοί που διατηρούν το μέτρο Lebesgue στο [0,1], εργοδικότητα, το εργοδικό θεώρημα του Von-Neumann και εφαρμογές. Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers (σχετικές με προηγούμενη ύλη), σελίδες 346-351: 38, 39, 51, 52, 55, 63.