ΠΡΑΓΜΑΤΙΚΗ ΑΝΑΛΥΣΗ
Χειμερινό Εξάμηνο 2022
Διδάσκων: Νίκος Φραντζικινάκης.
E-mail: frantzikinakis@gmail.com.
Ώρες διδασκαλίας: Tρίτη και Πέμπτη 9:15-10:45 στην Α212.
Κύριο Σύγγραμμα:
N. Carothers, Real Analysis (θα χρειαστούμε μόνο το Part III).
Βοηθητικό Σύγγραμμα : Σημειώσεις Θ. Μήτση
εδώ.
Γραφείο: Γ 307.
Ώρες γραφείου: Tετάρτη 11:00-12:00 και Πέμπτη 15:00-16:00.
Ύλη: Μέτρο Lebesgue στην ευθεία, μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκλήρωμα Lebesgue,
οριακά θεωρήματα, θεώρημα διαφόρισης Lebesgue, βασικές αρχές εργοδικής θεωρίας.
Προαπαιτούμενες γνώσεις: Είναι πρακτικά αδύνατο να τα πάτε καλά στο μάθημα εάν δεν έχετε πολύ καλή γνώση της
ύλης των μαθημάτων Ανάλυση Ι και ΙΙ.
Βαθμολογία:
Πρόοδος 50%, Τελικό διαγώνισμα 50%.
Ανακοινώσεις
19/9:
Το πρώτο μάθημα θα γίνει την Τρίτη 27/9.
25/10:
Η πρόοδος θα γίνει την Τρίτη 15 Νοεμβρίου 9:00-11:00 στην Α212. Ύλη: Ότι θα κάνουμε μέχρι τις 10 Νοεμβρίου.
3/11:
Η πρόοδος θα ξεκινήσει στις 9:00.
16/11: Τα θέματα της προόδου είναι εδώ.
Oι βαθμοί της προόδου είναι εδώ.
Tο γραπτό σας θα το δείτε την επόμενη Τρίτη στο μάθημα.
22/11: Το τελικό διαγώνισμα θα γίνει στις 9 Ιανουαρίου στις 3:00-5:30 στην Α212. Θα εξεταστείτε σε όλη την ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως ασκήσεις).
8/12: Την Τετάρτη 14/12 θα κάνουμε ένα επιπλέον μάθημα στις 9:15-11:00 στην A212.
10/1: Τα θέματα του τελικού διαγωνίσματος είναι εδώ.
Oι τελικοί βαθμοί είναι εδώ.
23/9: Το διαγώνισμα της εξεταστικής του Σεπτέμβρη θα γίνει στις 28/8
ώρα 12:00-2:00 στην αίθουσα Α208.
Θα εξεταστείτε σε όλη την ύλη. Μπορείτε να έχετε μία σελίδα με σημειώσεις σας (όχι όμως ασκήσεις).
28/9: Oι τελικοί βαθμοί της εξεταστικής του Σεπτέμβρη είναι εδώ.
Ημερολόγιο Μαθήματος και Προτεινόμενες Ασκήσεις
1η Εβδομάδα (27, 29 Σεπτεμβρίου): Επανάληψη σε ιδιότητες αριθμήσιμων συνόλων και βασικές τοπολογικές έννοιες στην πραγματική ευθεία (ανοιχτά και κλειστά σύνολα, συμπάγεια), δομή ανοιχτών συνόλων, πλάνο κατασκευής του ολοκληρώματος Lebesgue (σελίδες 51-56, 63-68, 108-113, 263-265 από το βιβλίο του Carothers).
2η Εβδομάδα (4, 6 Οκτωβρίου): Ορισμός εξωτερικού μέτρου, βασικές ιδιότητες, εξωτερικό μέτρο διαστημάτων, υποπροσθετικότητα, εξωτερικό μέτρο ένωσης συνόλων με θετική απόσταση (σελίδες 263-273 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 271-272: 5, 9, 12, 16, 17, 18, 20, 21, σελίδα 273: 22, 25, 28.
3η Εβδομάδα (11, 13 Οκτωβρίου): Το σύνολο Cantor, ορισμός και βασικές ιδιότητες μετρήσιμων συνόλων, τα μετρήσιμα είναι σ-άλγεβρα που περιέχει τα διαστήματα,
σ-προσθετικότητα του μέτρου Lebesgue
(σελίδες 25-29 και 277-283 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 281-283: 40, 41, 42, 44, 46.
4η Εβδομάδα (18, 20 Οκτωβρίου): Σύνολα Borel, δομή μετρήσιμων συνόλων,
επιπλέον ιδιότητες μέτρου Lebesgue και θεωρήματα προσέγγισης
μετρήσιμων συνόλων, limsup συνόλων και θεώρημα Borel Cantelli
(σελίδες 280-286 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 282-283: 48, 53, σελίδα 284: 56, 58, 59, 60, σελίδα 286: 62, 64.
5η Εβδομάδα (25, 27 Οκτωβρίου):
Μη μετρήσιμα σύνολα, το σύνολο Vitali, μη προσθετικότητα εξωτερικού μέτρου και σχετικά αντιπαραδείγματα,
μετρήσιμες
συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, κατά σημείο όριο μετρήσιμων είναι μετρήσιμη
(σελίδες 284-286 και 289-291 296-298, 300-305, από το βιβλίο του Carothers και άσκηση 72).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 291: 73-74, σελίδες 297-298: 5, 6, 7, 8, σελίδα 302: 19, 21, σελίδα 305: 31, 33.
Προτεινόμενες ασκήσεις από τις σημειώσεις του Μήτση, σελίδα 10: 2, 3, 4, 8, 9, 11.
6η Εβδομάδα (1, 3 Νοεμβρίου): Λύση ασκήσεων στο εξωτερικό μέτρο και μέτρο Lebesgue
Αλγεβρικές ιδιότητες μετρήσιμων συναρτήσεων, σύνολο ασυνεχειών και μετρησιμότητα Riemann ολοκληρώσιμων συναρτήσεων
(σελίδες 274-275, 300-301 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 276-277: 31, 37, σελίδα 299: 13, 15, 17.
7η Εβδομάδα (8, 10 Νοεμβρίου): Η συνάρτηση Cantor-Lebesgue και ιδιότητες της, εικόνα και αντίστροφη εικόνα συνόλου μέτρου 0 μέσω συνεχούς μπορεί να έχει θετικό μέτρο ή να είναι μη μετρήσιμο σύνολο. Ασκήσεις από προηγούμενες προόδους.
8η Εβδομάδα (15 Νοεμβρίου): Πρόοδος.
9η Εβδομάδα (22, 24 Νοεμβρίου):
Θεωρήματα προσέγγισης μετρήσιμων συναρτήσεων από απλούστερες συναρτήσεις (απλές, κλιμακωτές, συνεχείς), θεώρημα Egorov και θεώρημα Lusin, κανονική αναπαράσταση απλών συναρτήσεων
(σελίδες 305-312 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδα 299: 18, σελίδα 306: 36, 38, σελίδες 309-310: 41, 43, 48, 50.
10η Εβδομάδα (29 Νοεμβρίου, 1 Δεκεμβρίου):
Ολοκλήρωμα Lebesgue για απλές συναρτήσεις και βασικές ιδιότητες, ολοκλήρωμα Lebesgue για μη αρνητικές μετρήσιμες συναρτήσεις, ολοκληρώσιμες συναρτήσεις, βασικές ιδιότητες, σχέση με
ολοκλήρωμα Riemann, θεώρημα
μονότονης σύγκλισης, γραμμικότητα ολοκληρώματος, λήμμα Fatou, θεώρημα φραγμένης και κυριαρχημένης σύγκλισης,
(σελίδες 315-330 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 312-321: 3, 4, 5, 6, 9-17, σελίδα 327: 24-26, 29-32, 34, 35,.
11η Εβδομάδα (6, 8 Δεκεμβρίου): Εναλλαγή σειράς και ολοκληρώματος, ομοιόμορφη και απόλυτη συνέχεια αόριστου ολοκληρώματος, θεωρήματα προσέγγισης και
εφαρμογές, λήμμα Riemann-Lebesgue
(σελίδες 328-335 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers, σελίδες 332-335: 38-43, 45, 46, 50, 56-59.
12η Εβδομάδα (13, 15 Δεκεμβρίου):
Oι χώροι L^1, L^2, L^\infty, πληρότητα (οι αποδείξεις που έδωσα είναι διαφορετικές από αυτές του βιβλίου), θεωρήματα προσέγγισης και διαχωρισιμότητα L^1, L^2, οι χώροι L^p (σελίδες 342-351 από το βιβλίο του Carothers).
Προτεινόμενες ασκήσεις από το βιβλίο του Carothers (σχετικές με προηγούμενη ύλη), σελίδες 342-351: 38, 39, 51, 52, 55, 56, 62, 63.
13η Εβδομάδα (20, 22 Δεκεμβρίου): Λήμμα κάλυψης Vitali, μεγιστική συνάρτηση, μεγιστική ανισότητα,
το θεώρημα διαφόρισης του Lebesgue, σημεία πυκνότητας, (οι αποδείξεις που έκανα δεν είναι ίδιες με του βιβλίου), ασκήσεις από προηγούμενα διαγωνίσματα.