B2-2013-14

KΥΡΙΟ ΒΙΒΛΙΟ: Greene & Krantz: Function Theory of Οne Complex Variable.

Βοηθητικά: (Ὲνδεικτικά) L. Ahlfors, Complex Analysis,
Colwell & Mathews, Complex Variables,
Bak & Newmann, Μιγαδικὴ Ἀνάλυση.

Ὕλη ποὺ θὰ προσπαθήσουμε νὰ καλύψουμε:
1. Στοιχειώδεις ἔννοιες: μιγαδικοὶ ἀριθμοί, ἰδιότητες, μιγαδικὰ πολυώνυμα, ὁλόμορφες συναρτήσεις, συνθῆκες Κωσσὺ-Ρίμανν, ἀντιπαράγωγοι.
2. Μιγαδικά ἐπικαμπύλια ὁλοκληρώματα: μιγαδικὴ διαφόριση, συμμορφία, ὁλοκληρωτικὸς τῦπος καὶ θεὼρημα τοῦ Κωσσύ.
3. Ὲφαρμογὲς τοῦ ὁλοκληρώματος Κωσσύ: μιγαδικὲς δυναμοσειρὲς, ἐκτιμήσεις Κωσσύ, θεώρημα Λιουβίλλ, ρίζες ὁλόμορφης συνάρτησης.
4. Μερόμορφες συναρτήσεις: ἀναπτύγματα Λωρὰν, ὁλοκληρωτικὰ ὑπόλοιπα.
5. Ρίζες: Ρίζες καὶ πόλοι, ἀρχὴ μεγίστου, λῆμμα Σβάρτς.
6. Γεωμετρική σημασία τῆς ὁλομορφίας: Μέμπιους μετασχηματισμοί, θεώρημα ἀπεικόνισης Ρίμανν.
7. Ἁρμονικές συναρτήσεις: πρόβλημα Ντιριχλέ, ἀρχὴ ἀνάκλασης Σβάρτς.
8. Ἄπειρες σειρὲς καὶ γινόμενα: θεωρήματα Βάγερστραςς καὶ Μίταγκ-Λέφλερ.
9. Ἀναλυτικὴ συνέχιση.
...καὶ ὅ,τι ἄλλο ἤθελε προκύψει..

Αἴθουσα καὶ ὧρες διδασκαλίας: B214, Τρίτη καὶ Πέμπτη 13:00--15:00.

Τρόπος ἐξέτασης: Μία τελικὴ ἐξέταση

Ἀνακοινώσεις

1. Ἁναπλήρωση μαθήματος τῆς 4/03: Παρασκευὴ 14/03, 11:00--13:00, Β214.
2. Τὸ διάστημα 03-10/04 θὰ ἀπουσιάζω. Οἱ ἀναπληρώσεις τῶν μαθημάτων βρίσκονται παρακάτω .

ΗΜΕΡΟΛΟΓΙΟ ΜΑΘΗΜΑΤΟΣ

1. 18/02. Στοιχειώδεις ἔννοιες: μιγαδικοὶ ἀριθμοί, ἰδιότητες, μιγαδικὰ πολυώνυμα, ὁλόμορφες συναρτήσεις, συνθῆκες Κωσσὺ-Ρίμανν.
2. 20/02. Ὰντιπαράγωγοι. Μιγαδικά ἐπικαμπύλια ὁλοκληρώματα, εἰσαγωγή.
3. 25/02. Ὁλοκληρωτικὸς τῦπος καὶ θεώρημα Κωσσύ.
4. 26/02. Ὁ Κωσσὺ σὲ γενικότερες καμπῦλες καὶ χωρία.
5. 04/03. Τὸ μάθημα δὲν ἔγινε λόγω ἀπουσίας τοῦ διδάσκοντα.
6. 06/03. Ὁλοκληρωτικὸς (γενικευμένος) τῦπος Κωσσύ, θεωρήματα Μορρέρα καὶ Κωσσὺ Γκουρσά, εἰσαγωγὴ στὶς δυναμοσειρὲς.
7. 11/03. Μιγαδικὲς δυναμοσειρές, θεώρημα Ταίϋλορ.
8. 13/03. Ὲκτιμήσεις Κωσσύ, θεώρημα Λιουβίλλ, μηδενικά (ρίζες), θεώρημα ταυτισμοῦ.
5. 14/03. Ἁναπλήρωση τῆς 4/03: Θεώρημα ὁρίσματος καὶ θεώρημα Ρουσέ.
15. 15/03. Ἁναπλήρωση τῆς 8/04, Β214 11:00--13:00: Θεώρημα Λωράν, κατάταξη ἀνωμαλιῶν
9. 18/03. Μερόμορφες συναρτήσεις, ὁλοκληρωτικὰ ὑπόλοιπα.
10. 20/03. Τοπική γεωμετρία ὁλομόρφων συναρτήσεων.
16. 21/03. Ἁναπλήρωση τῆς 10/04, Β214 11:00--13:00: Ἀρχὴ Μεγίστου, Λῆμμα Σβάρτς.
11. 25/03. Άργία.
12. 27/03. Σύμμορφες ἀπεικονίσεις, σφαίρας, ἐπιπέδου, δίσκου.
13. 01/04. Κανονικές οἰκογένειες συναρτήσεων.
14. 03/04. Θεώρημα Ἀρζελά--Ἄσκολι.
15. 08/04. Άπουσία τοῦ διδάσκοντα.
16. 10/04. Άπουσία τοῦ διδάσκοντα.
17. 29/04. Θεώρημα Μοντέλ, θεώρημα άπεικόνισης τοῦ Ρίμανν.
18. 01/05. Άργία.
19. 06/05. Θεώρημα άπεικόνισης τοῦ Ρίμανν.
20. 08/05. Τοπολογία: Θεμελιώδης ὁμάδα, ὁμοτοπία.