Μαθηματική Μοντελοποίηση στον υπολογιστή

Επιστροφή στην ιστοσελίδα του μαθήματος

Προσομοίωση δυναμικών συστημάτων με το matlab.
(Δείτε το Documentation.)

Παράδειγμα 1.
Θεωρούμε το μοντέλο Lotka-Volterra (δείτε στις σημειώσεις).
(α) Βρείτε τα σημεία ισορροπίας γιά a=1, b=1, c=0.01, d=0.02.
(β) Λύστε αριθμητικά τις εξισώσεις χρησιμοποιώντας, π.χ., το matlab (δείτε εδώ.)
(γ) Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων με τον υπολογιστή. (Θα χρειαστεί να xρησιμοποιήσετε διάφορες αρχικές συνθήκες ώστε να παράγετε αρκετές καμπύλες του διαγράμματος φάσεων.)

Παράδειγμα 2.
Έστω ο αναρμονικός ταλαντωτής
d²x/dt² = -x + a x³.
(a) Γράψτε την παραπάνω εξίσωση ως δύο εξισώσεις 1ης τάξης.
(β) Σχεδιάστε το διάγραμμα φάσεων.

Υπάρχουν διάφοροι τρόποι γιά να σχεδιάσετε τις φασικές καμπύλες:
(i) Μπορείτε να δουλέψετε όπως στο προηγούμενο παράδειγμα.
(ii) Μπορείτε να σχεδιάσετε τις φασικές καμπύλες με το matlab.
(iii) Οι φασικές καμπύλες μπορούν επίσης να σχεδιασθούν πρόχειρα με το gnuplot με τις εντολές:

a=0.01 --> επιλογή τιμής γιά το a
set xrange[-20:20] --> το εύρος του γραφήματος στον άξονα x
set samples 2000 --> επιλογή πυκνότητας σημείων γιά την γραφική παράσταση
unset key --> σβήνει κάποιες ενοχλητικές πληροφορίες επάνω στο γράφημα
plot sqrt(10-x**2+a/2.0*x**4) w l 1,-sqrt(10-x**2+a/2.0*x**4) w l 1 --> από εδώ και κάτω σχεδιάζουμε μία σειρά από φασικές καμπύλες
replot sqrt(30-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(30-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(50-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(50-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(80-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(80-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(100-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(100-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(-10-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(-10-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(-30-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(-30-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(-50-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(-50-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(-80-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(-80-x**2+a/2.0*x**4) w l 1
replot sqrt(-100-x**2+a/2.0*x**4) w l 1, -sqrt(-100-x**2+a/2.0*x**4) w l 1

Σημείωση: οι παραπάνω εντολές βρίσκονται στο αρχείο anharmonic.gnu.
Σημείωση: χρησιμοποιώντας την εντολή set contours μπορείτε να σχεδιάσετε πολύ συντομότερα τις καμπύλες του διαγράμματος φάσεων.

Γιά να τυπώσετε το γράφημά σας ακολουθήστε την εξής διαδικασία:
Εκτελέστε πρώτα τις παραπάνω εντολές
Μετά δώστε τις εντολές:
set term post
set output 'diagram.ps'
replot

Τώρα έχετε το αρχείο diagram.ps το οποίο μπορείτε να τυπώσετε.