Ασκήσεις Φυλ. 1

1. Έστω $R$ ακεραία περιοχή. Μία ευκλείδια συνάρτηση για τον $R$ είναι μία συνάρτηση $\phi: R\backslash \{0\} \rightarrow \mathbb{N}$ τ.ώστε
   • Αν $a,b \in R\backslash\{0\}$ και $a\vert b$ τότε $\phi(a)\leq \phi(b)$.
   • Για κάθε $a,b \in R\backslash\{0\}$ υπάρχουν $q,r \in R$ τ.ώστε
     $$a=bq+r$$    όπου $$r=0$$    ή $$\phi(r) < \phi (b).$$

   Δείξτε ότι οι δακτύλιοι $\mathbb{Z}, K[t], \mathbb{Z}[i]$ εφοδιασμένοι αντίστοιχα με τις συναρτήσεις $\vert\cdot\vert, deg(\cdot), \vert \cdot \vert^2$ είναι ευκλείδιοι δακτύλιοι. (Υπόδειξη για τον $\mathbb{Z}[i]$: Δείξτε ότι υπάρχει $\gamma \in \mathbb{Z}[i]$ με $\vert\frac{a}{b}-1\vert < 1$. Βοηθάει να δούμε τον δακύλιο $\mathbb{Z}[i]$ σαν ένα πλέγμα εντός του $\mathbb{C}\times \mathbb{C}$, όπου κάθε τετράγωνο έχει διαγώνιο $sqrt{2}/2$.

2. Αποδείξτε ότι κάθε ιδεώδες $I$ ευκλείδιου δακτυλίου $R$ είναι κύριο, δηλαδή είναι της μορφής $I=xR$ για κάποιο $x\in R$.
3. Να δείξετε ότι τα ανάγωγα στοιχεία του $\mathbb{Z}[i]$ είναι της μορφής
   $$\left\{ \begin{array}{ll} \pi =1 +i & \\ \pi=a+bi & \mbox{όπου ... ...equiv 1 mod4 a>\vert b\vert>0 \\ \pi=p & p\equiv 3 mod 4 \end{array} \right.$$
   όπου το $p$ διατρέχει τους πρώτους του $\mathbb{Z}$.

4. Δείξτε ότι ο δακτύλιος $\mathbb{Z}[\sqrt{-d} ]=\mathbb{Z}+ \mathbb{Z}\sqrt{-d}$ όπου $d>1$ έχει ομάδα μονάδων το $\{\pm 1\}$.
5. Δείξτε ότι ο δακτύλιος $\mathbb{Z}[\sqrt{d} ]=\mathbb{Z}+ \mathbb{Z}\sqrt{d}$, όπου $d$ είναι ελεύθερος τετραγώνου θετικός ακέραιος, έχει άπειρες μονάδες.(Δύσκολη)
6. Ποιά από τα παρακάτω πολυώνυμα του $\mathbb{Z}[x]$ είναι ανάγωγα?
   1. $x^2+3$
   2. $x^2-169$
   3. $x^3+x^2+x+1$
   4. $x^3+2x^2+3x+4$
7. Να βρεθούν τα ελάχιστα πολυώνυμα υπέρ το $\mathbb{Q}$ των $\frac{1+i}{\sqrt{2}}$, $i+\sqrt{2}$, $e^{2\pi i /3}+2$.

8. Ποιοί είναι οι βαθμοί των παρακάτω επεκτάσεων σωμάτων?
   1. $\mathbb{Q}(\sqrt{7}:\mathbb{Q}$
   2. $\mathbb{C}(\sqrt{7}):\mathbb{C}$
   3. $\mathbb{Q}(\pi):\mathbb{Q}$

9. Θεωρήστε το σώμα των ρητών συναρτήσεων $\mathbb{C}(t)$, δηλαδή των πηλίκων πολυωνύμων με συντελεστές από το $\mathbb{C}$. Ποιά είναι η γεωμετρική ερμηνεία μίας πεπερασμένης αλγεβρικής επέκτασης του $\mathbb{C}(t)$?