ÁóêÞóåéò Öõë. 2

1. Óôï óþìá $\mathbb{Q}(\zeta)$ üðïõ $\zeta=e^{2\pi i/5}$ íá õðïëïãéóôïýí ôá $N_K(a)$ êáé $Tr_K(a)$ ãéá ôéò ðáñáêÜôù ôéìÝò ôïõ $a$:
   $$(i)\; \zeta^2, \;\;\;\; (ii)\; \zeta + \zeta^2 \;\;\;\; (iii)\; 1+\zeta+\zeta^2+\zeta^3 + \zeta^4$$

2. Óôïí äáêôýëéï $K(\mathbb{Q}(\zeta))$, $\zeta=e^{2\pi i/p}$ ãéá $p$ ðñþôï ôïõ $\mathbb{Z}$ íá äåé÷èåß üôé ôï $a\in \mathbb{Z}[\zeta]$ åßíáé ìïíÜäá áí êáé ìüíï áí $N_K(a)=\pm 1$.
3. Áí $\zeta=e^{2\pi i/3 }$, $K=\mathbb{Q}(\zeta)$ íá äåé÷èåß üôé ç norm ôïõ $a\in \mathbb{Z}[\zeta]$ åßíáé ôçò ìïñöÞò: $\frac{1}{4}(a^2+3b^2)$, $a,b \in \mathbb{Z}$ êáé ïé äýï ôáõôü÷ñïíá Üñôéïé Þ êáé ïé äýï ôáõôü÷ñïíá ðåñéôïß. ÅðéðëÝïí, íá âñåèïýí ïé ìïíÜäåò ôïõ $\mathbb{Z}[\zeta]$.
4. Óôï óþìá, $\mathbb{Q}(\zeta)$, $\zeta=e^{2\pi i/5}$ íá äåé÷èåß üôé êÜèå $a\in \mathbb{Z}[x]$ åßíáé ôçò ìïñöÞò $\frac{1}{4}(a^2-5b^2)$. (Õðüäåéîç: óôïí õðïëïãéóìü ôïõ $N(a)$ íá õðïëïãéóôåß ðñþôá ôï $\sigma_1(a)\sigma_4(a)$, üðïõ $\sigma_i(\zeta)=\zeta^i$. Áõôü åßíáé ôçò ìïñöÞò $q+r\theta +s \phi$, üðïõ $q,r,s\in \mathbb{Z}$ êáé $\theta=\zeta^2+\zeta^3$. Ïìïßùò ãéá ôïí $\sigma_2(a)\sigma_3(a)$. ÔÝëïò íá äåé÷èåß üôé ï $\mathbb{Z}[\zeta]$, Ý÷åé Üðåéñåò ìïíÜäåò.
5. Äåßîôå üôé ç åîßóùóç
   $$y^2+4=z^3,$$
   Ý÷åé ìïíáäéêÝò áê. ëýóåéò ôéò $y=\pm 11,z=5$ êáé $y=\pm 2,z=2$.

6. Âñåßôå ôéò ñçôÝò ëýóåéò ôçò $x^2+y^2=1$.