Ασκήσεις Φυλ. 3

1. Βρείτε τον δακτύλιο των ακεραίων στα παρακάτω σώματα αριθμών
   $$\mathbb{Q}(\sqrt[3]{5}),\mathbb{Q}(\sqrt[3]{175}),\mathbb{Q}(\sqrt{2},i).$$

2. Κάνοντας χρήση του προγράμματος KASH, βρείτε βάσεις ακεραίων και διακρίνουσες των παρακάτω σωμάτων: $\mathbb{Q}(\sqrt{2},\sqrt{3}),\mathbb{Q}(\sqrt{2},i),\mathbb{Q}(\sqrt{3}{2}),\mathbb{Q}(\sqrt[4]{2})$.
3. Να δώσετε ένα δακτύλιο που να μην είναι δακτύλιος της Noether. Να δώσετε δακτύλιο της Noether που να μην είναι δακτύλιος του Dedekind.
4. Να βρείτε τους ακ. αλγεβρικούς του κυκλοτομικού σώματος $\mathbb{Q}(\zeta)$, όπου $\zeta=e^{2\pi i /p}$ και $p$ περιττός πρώτος.
5. Να δείξετε ότι η διακρίνουσα $d$ ενός σώματος αριθμών είναι $\equiv 0 mod 4$ ή $\equiv 1 mod 4$.

6. (Θεώρημα υπολοίπων για πρώτα ιδεώδη) Έστω $P_1,...,P_n$ ιδεώδη σε ένα δακτύλιο $R$ με $P_i + P_j=R$ για $i \neq j$. Αν $P=\cap_{i=1}^n P_i$ τότε
   $$\frac{R}{P} \cong \bigoplus_{i=1}^n \frac{R}{P_i } .$$