Διδάσκων: Γεώργιος Κοσιώρης, Ε-322. E-mail: kosioris [at] uoc gr

Ώρες διαλέξεων: Τρίτη 15:00-17:00 και Πέμπτη 15:00-17:00, E203

Ώρες γραφείου: Τρίτη 7-8μμ και Πέμπτη 10-11

Σκοπός του μαθήματος είναι η μελέτη προβλημάτων βελτίστου ελέγχου. Ο βέλτιστος έλεγχος εμφανίστηκε σαν επέκταση του λογισμού μεταβολών αλλά γρήγορα εξελίχθηκε αυτόνομα με ένα ευρύ φάσμα εφαρμογών συμπεριλαμβανομένων της αεροναυπηγικής, κατεργασιών, ρομποτικής, εμβιομηχανικής, οικονομικών, ανάλυσης κινδύνου, χρηματοοικονομικής, διοίκησης επιχειρήσεων κ.ά. Ορόσημα στην ανάπτυξη του βελτίστου ελέγχου τον 20ό αιώνα υπήρξαν η ανάπτυξη του δυναμικού προγραμματισμού από τον Richard Bellman (1920-1984) το 1950, η διατύπωση της αρχής μεγίστου από τον Lev Pontryagin (1908-1988) το 1950, καθώς και η ανάπτυξη του linear quadratic regulator και του Kalman Filter από τον Rudolf Kalman το 1960. Ο βέλτιστος έλεγχος αποτελεί σήμερα ένα πολύ ενεργό ερευνητικά πεδίο της Θεωρίας Ελέγχου.

Πιο συγκεκριμένα, στο Λογισμό Μεταβολών μας ενδιαφέρει να βρούμε την τροχιά \(\mathbf{x}: [t_0,t_f]\subset \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^{n} \) που μεγιστοποιεί (ελαχιστοποιεί) το ολοκλήρωμα \[\tag{1} J= \int_{t_0}^{t_f} F(t, \mathbf{x}(t), \dot{\mathbf{x}}(t)) dt. \]

Πρόβλημα Βελτίστου Ελέγχου: Να βρεθεί ο έλεγχος \(\mathbf{u}: [t_0,t_f]\subset \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^{n} \) που ελαχιστοποιεί το συνολικό κόστος: \[\tag{2} J= \varphi(\mathbf{x}(t_f)) + \int_{t_0}^{t_f} F(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t) dt \]

υπό την συνθήκη: \[\tag{3} \dot{\mathbf{x}}(t) = \mathbf{f}(\mathbf{x}(t),\mathbf{u}(t),t), \,\, \mathbf{x}(t_0)=\mathbf{x}_0 \]

όπου \( [t_0, t_f] \) είναι ο χρονικός ορίζοντας ενδιαφέροντος, \(\mathbf{x}: [t_0,t_f] \mapsto \mathbb{R}^{n}\) είναι το διάνυσμα κατάστασης, \(\varphi: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \) είναι το τερματικό κόστος, \(F: \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R}^{n} \times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R} \) είναι το στιγμιαίο κόστος, και \(\mathbf{f}: \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R}^{n}\times \mathbb{R} \mapsto \mathbb{R}^{n} \) ένα διανυσματικό πεδίο. Η εξίσωση (3) περιγράφει τη δυναμική του συστήματος και την αρχική του κατάσταση. Οπως ορίζεται το παραπάνω πρόβλημα είναι γνωστό σαν πρόβλημα Bolza. Αν \(F(\mathbf{x},\mathbf{u},t)=0\ ,\) τότε το αντίστοιχο πρόβλημα βελτίστου ελέγχου είναι γνωστό σαν πρόβλημα Mayer, ενώ αν \(\varphi(\mathbf{x}(t_f))=0\ ,\) τότε είναι γνωστό σαν πρόβλημα Lagrange. Εδώ, το συνολικό κόστος \(J=J(\mathbf{u})\) είναι ένα συναρτησιακό, δηλ μιά απεικόνιση που αντιστοιχεί σε κάθε συνάρτηση u έναν πραγματικό αριθμό. Οι συναρτήσεις ελέγχου u ανήκουν σε κάποιο δεδομένο σύνολο και ανάλογα με το πρόβλημα ικανοποιούν κάποιους περιορισμούς. Είναι αυτές που καθορίζουν (ελέγχουν) τη δυναμική του προβλήματος, δηλ. την μεταβλητή απόκρισης \(\mathbf{x}(t)\).

Στόχοι του μαθήματος

Το μάθημα αντικαθιστά το προχωρημένο μάθημα "Θεωρία Παιγνίων" της κατεύθυνσης των Εφαρμοσμένων Μαθηματικών και περιλαμβάνει ένα σημαντικό γνωσιολογικά τμήμα της θεωρίας παιγνίων. Σκοπός του μαθήματος είναι να εξοικειωθούν οι φοιτητές με την ορολογία του βελτίστου ελέγχου, την μαθηματική του θεωρία και τις εφαρμογές του στην οικονομία αλλά και σε άλλες επιστήμες. Θα μάθουν να επιλύουν προβλήματα εφαρμόζοντας την αρχή Pontryagin. Θα εξοικειωθούν με την Αρχή του Δυναμικού Προγραμματισμού και τις εφαρμογές του. Θα δούν πως μελετώνται τα διακριτά προβλήματα που προσεγγίζουν τα συνεχή και χρησιμοποιούνται για την αριθμητική επίλυση των αντίστοιχων προβλημάτων. Θα γίνει εισαγωγή στα διαφορικά παίγνια.

Παραθέτουμε ενδεικτικά τα κεφάλαια που θα παρουσιασθούν κατά τη διάρκεια των διαλέξεων:

Προαπαιτούμενα: Απειροστικός Λογισμός ΙΙ, Διαφορικές Εξισώσεις.

Προτεινόμενη βιβλιογραφία

  1. W. Fleming και R. Rishel, Deterministic and Stochastic Optimal Control , Springer Verlag
  2. A. Seierstad και K. Sydsäter, Optimal Control Theory with Economic Applications, North Holland
  3. I. M. Gelfand και S. V. Fomin, Calculus of Variation, Dover
  4. L. C. Evans, An Introduction to Mathematical Optimal Control Theory, ελεύθερες σημειώσεις στο διαδίκτυο
  5. D. P. Bertsekas, Dynamic Programming and Optimal Control, , Athena Publishing Company
  6. W.A. Brock και A. G. Malliaris, Stability and Chaos in Dynamic Economics, North Holland
  7. Γ. Σταματόπουλος και Κ. Παπαδόπουλος, Θεωρία Παιγνίων, Κάλλιπος

Αξιολόγηση

Ο τελικός βαθμός Β του μαθήματος θα υπολογιστεί από τον τύπο B = 0.40 * Α + 0.70 * T. Εδώ Α είναι ο μέσος όρος των ασκήσεων και T ο βαθμός στο τελικό διαγώνισμα. Για την εξεταστική περίοδο του Σεπτεμβρίου θα μετρήσει μόνο ο τελικός βαθμός της εξέτασης.

Εκπόνηση Πτυχιακής Εργασίας - Μεταπτυχιακής Εργασίας - Διδακτορικής Διατριβής

Η πτυχιακή εργασία περιλαμβάνει συνήθως μαθηματική ανάλυση κάποιου προβλήματος βελτίστου ελέγχου και την αριθμητική του επίλυση. Η Μεταπτυχιακή Εργασία απαιτεί υπόβαθρο σε Ανάλυση, Στοχαστική Ανάλυση και Θεωρία Ασθενών Λύσεων Διαφορικών Εξισώσεων με Μερικές Παραγώγους.

Δείτε τις εργασίες που έχουν εκπονηθεί

Ροή Διαλέξεων

1η εβδομάδα: Περιγραφή προβλημάτων βελτίστου ελέγχου και επισκόπηση των μαθηματικών εργαλείων επίλυσης τους

2η εβδομάδα: Περιγραφή προβλημάτων βελτίστου ελέγχου και επισκόπηση των μαθηματικών εργαλείων επίλυσης τους

3η εβδομάδα: Παραδείγματα και εφαρμογές

4η εβδομάδα: Λογισμός Μεταβολών: Παραγωγή των εξισώσεων Euler και εφαρμογές, απόδειξη της αναγκαίας συνθήκης Legendre, διάφορες συνθήκες εγκαρσιότητας και αντίστοιχα παραδείγματα. Σημειώσεις

5η εβδομάδα: Λογισμός Μεταβολών: Ικανές συνθήκες για ολικά ακρότατα: κυρτότητα και κριτήριο Jacobi - συζυγή σημεία και αντίστοιχα παραδείγματα. Σημειώσεις α, και Σημειώσεις β

6η εβδομάδα: Λογισμός Μεταβολών: Ασκήσεις - παραδείγματα

7η εβδομάδα: Λογισμός Μεταβολών: Διάφορα - συνθήκες γωνιότητας. Σημειώσεις

8η εβδομάδα: Το πρόβλημα του βελτίστου ελέγχου - παραδείγματα Σημειώσεις

9η εβδομάδα: Βέλτιστος 'Ελεγχος: Διαισθητικές αποδείξεις της αρχής μεγίστου Σημειώσεις

10η εβδομάδα: Επανάληψη

11η εβδομάδα: Βέλτιστος 'Ελεγχος: Η Αρχή Pontryagin και εφαρμογές Σημειώσεις

12η εβδομάδα: Βέλτιστος 'Ελεγχος: Η Αρχή Pontryagin και εφαρμογές

13η εβδομάδα: Δυναμικός Προγραμματισμός

Ανακοινώσεις

14-10-2016: 1ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

21-10-2016: 2ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

01-11-2016: 3ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

20-12-2016: 4ο Φυλλάδιο Ασκήσεων

Ημερολόγιο