next up previous contents
Next: Προς τα Πίσω Ανάλυση Up: Προσεγγίσεις στους Επιστημονικούς Υπολογισμούς Previous: Απόλυτο και Σχετικό Σφάλμα   Contents

Ευαισθησία και Κατάσταση

Οι δυσκολίες στην ακριβή επίλυση ενός προβλήματος δεν οφείλονται πάντοτε σε έναν κακώς κατανοηθέντα μαθηματικό τύπο ή αλγόριθμο, αλλά μπορεί να ενυπάρχει στο πρόβλημα που επιλύεται. Ακόμη και με ακριβείς υπολογισμούς, είναι δυνατόν η λύση του προβλήματος να είναι πολύ ευαίσθητη σε δαταράξεις των δεδομένων του προβλήματος. Ενα πρόβλημα λέγεται μη ευαίσθητο, ή καλής κατάστασης, αν μία δοσμένη σχετική αλλαγή (διατάραξη) στα δεδομένα προκαλεί μία λογικά σύμμετρη αλλαγή στη λύση. Ενα πρόβλημα λέγεται ευαίσθητο, ή κακής κατάστασης, αν η σχετική αλλαγή στη λύση μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερη από αυτή των δεδομένων. Μιλώντας τυπικά, ορίζουμε το Δείκτη Κατάστασης (ΔΚ) ενός προβλήματος 51#51 στο 33#33 ως

52#52

όπου 47#47 είναι ένα σημείο κοντά στο 33#33. Ενα πρόβλημα είναι ευαίσθητο, ή κακής κατάστασης, αν ο ΔΚ είναι πολύ μεγαλύτερος από 39#39. Οποιοσδήποτε έχει νιώσει το νερό στο μπάνιο να πηγαίνει από το παγωμένο στο καυτό, ή αντίστροφα, ακόμα και στο ελάχιστο, ήρθε σε άμεση επαφή με ένα ευαίσθητο σύστημα.

27#27

Παράδειγμα 1.2   Υπολογίζοντας μια συνάρτηση. Θεωρείστε το μεταδιδόμενο σφάλμα των δεδομένων ενός προβλήματος όταν μία συνάρτηση 51#51 υπολογίζεται για μια προσεγγιστική τιμή της μεταβλητής 53#53 αντί για την "πραγματική" μεταβλητη τιμή 33#33. Γνωρίζουμε από τον απειροστικό λογισμό ότι
Απόλυτο σφάλμα = 54#54
έτσι ώστε
Σχετικό σφάλμα = 55#55
και επομένως

56#56

Αρα, έτσι, το σχετικό σφάλμα στην τιμή της συνάρτησης μπορεί να είναι πολύ μεγαλύτερο ή πολύ μικρότερο από αυτό στα δεδομένα, εξαρτώμενο από τις ιδιότητες της συνάρτησης που εμπλέκεται και τη συγκεκριμένη τιμή των δεδομένων. Για παράδειγμα, αν 57#57 τότε : απόλυτο σφάλμα 58#58, σχετικό σφάλμα 59#59, ΔΚ = 60#60.


27#27

Παράδειγμα 1.3   Ευαισθησία Θεωρείστε το πρόβλημα του υπολογισμού των τιμών της συνάρτησης του συνημιτόνου για τιμές κοντά στο 61#61. Εστω 62#62 και 63#63 μία μικρή διατάραξη του 33#33. Τότε το σφάλμα στον υπολογισμό του 64#64 δίνεται από τη σχέση
Απόλυτο σφάλμα = 65#65,
και επομένως
Σχετικό σφάλμα 66#66.
Αρα, έτσι, μικρές αλλαγές στο 33#33 κοντά στο 61#61 προκαλούν μεγάλες σχετικές αλλαγές στην τιμή του 67#67 ανεξάρτητα από τη μέθοδο υπολογισμού του. Για παράδειγμα,

68#68

ενώ

69#69

άρα, έτσι η σχετική αλλαγή στο αποτέλεσμα, 70#70, είναι περίπου 71#71 φορές μεγαλύτερη από τη σχετική αλλαγή στη μεταβλητή, 72#72

27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24