next up previous contents
Next: Μέθοδος της τέμνουσας Up: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕ Previous: Επαναλήψεις σταθερού σημείου   Contents

ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΟΝΟΣ.

Η μέθοδος διχοτόμησης δεν κάνει οποιαδήποτε χρήση των τιμών της συνάρτησης εκτός από τα σύμβολά τους, που καταλήγει σε σίγουρη αλλά αργή μετατροπή. Πιο γρήγορες μεθόδους μετατροπής μπορούν να παραχθούν χρησιμοποιώντας τις τιμές της συνάρτησης για την απόκτηση μιας πιο ακριβής προσέγγισης στη λύση σε κάθε επανάληψη. Πιο συγκεκριμένα, σειρές του 210#210

1120#1120

είναι μία γραμμική συνάρτηση του 63#63 που προσεγγίζει το 51#51 κοντά σε ένα δεδομένο 33#33. Μπορούμε έτσι να αντικαταστήσουμε τη μη γραμμική συνάρτηση 51#51 με αυτή τη γραμμική συνάρτηση, της οποίας το μηδέν είναι εύκολα προσδιορίσιμο ως 1121#1121, υπολογίζοντας ότι 1122#1122. Φυσικά τα μηδενικά των δύο συναρτήσεων θα είναι ταυτόσημα γενικά, έτσι επαναλαμβάνουμε τη διαδικασία. Αυτό προκαλεί το επακόλουθο επαναληπτικό σχήμα γνωστό ως η μέθοδος του Νεύτωνα:

1123#1123

ΣΧΕΔΙΑΓΡΑΜΜΑ 5.5 Μέθοδος του Νεύτωνα για την επίλυση μίας μη γραμμικής εξίσωσης.

Η μέθοδος του Νεύτωνα μπορεί να ερμηνευτεί εάν η προσέγγιση της συνάρτησης 51#51 κοντά στο 1051#1051 μέσω της εφαπτομένης γραμμής στο 1124#1124. Τότε μπορούμε να πάρουμε την επόμενη εκτιμώμενη λύση να είναι το μηδέν αυτής της γραμμικής συνάρτησης και να επαναλάβουμε τη διαδικασία. Η μέθοδος του Νεύτωνα απεικονίζεται στο Σχεδιάγραμμα 5.5.


27#27

Παράδειγμα 5.6   ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΩΝΑ. Παρουσιάζουμε τη μέθοδο του Νεύτωνα πάλι βρίσκοντας μία ρίζα της εξίσωσης

1074#1074

Το παράγωγο αυτής της συνάρτησης δίνεται από

1125#1125

έτσι ώστε το επαναληπτικό σχέδιο δίνεται από

1126#1126

Παίρνοντας 1127#1127 σαν αρχική τιμή, έχουμε την ακολουθία επαναλήψεων που φαίνεται μετά, όπου 1121#1121 δηλώνει την αλλαγή στο 33#33 σε κάθε επανάληψη. Η επανάληψη τελειώνει όταν 1128#1128 είναι τόσο μικρή όσο επιθυμείται σχετικά με το 1129#1129

1080#1080


27#27

Μπορούμε να δούμε τη μέθοδο του Νεύτωνα σαν ένα συστηματικό τρόπο μετατροπής μιας μη γραμμικής εξίσωσης 1043#1043 σε ένα πρόβλημα σταθερού σημείου 1094#1094 όπου

1130#1130

Για να μελετήσουμε τη μετατροπή αυτού του σχεδίου καθορίζουμε, λοιπόν, την παράγωγο

1131#1131

Εάν 1052#1052 είναι μία απλή ρίζα (δηλαδή 1132#1132 και 1133#1133), τότε 1119#1119. Έτσι ο ασύμπτωτος ρυθμός μετατροπής της μεθόδου Νεύτωνα για μία πιο απλή ρίζα είναι τετραγωνική δηλαδή 1057#1057. Έχουμε ήδη δει μια απεικόνιση αυτού. Το τέταρτο σταθερού σημείου επαναληπτικό σχήμα στο Παράδειγμα 5.5 είναι η μέθοδος του Νεύτωνα για την επίλυση την προς παράδειγμα εξίσωσης (σημειώστε ότι η τέταρτη επαναληπτική συνάρτηση στο Σχεδιάγραμμα 5.4 έχει μία οριζόντια εφαπτόμενη στο σταθερό σημείο. Ο τετραγωνικός ρυθμός μεταβολής της μεθόδου Νεύτωνος για μία πιο απλή ρίζα σημαίνει ότι ασυμπτωτικά το λάθος σε κάθε επανάληψη τετραγωνίζεται. Άλλος τρόπος για να το πεις αυτό είναι ότι ο αριθμός των ψηφίων ακρίβειας στην κατά προσέγγιση λύση διπλασιάζεται σε κάθε επανάληψη με τη μέθοδο του Νεύτωνα. Για μία πολλαπλάσια ρίζα, απ' την άλλη πλευρά η μέθοδος του Νεύτωνα είναι μόνο γραμμικά μετατρέψιμη [με σταθερά 1134#1134, όπου 114#114 είναι πολλαπλότητα]. Είναι σημαντικό να θυμόμαστε, ωστόσο, ότι αυτά τα μετατρεπόμενα αποτελέσματα είναι μόνο τοπικά και η μέθοδος του Νεύτωνα μπορεί να μην μετατρέπει καθόλου εκτός αν ξεκινήσει αρκετά κοντά στη λύση. Για παράδειγμα, μία σχετικά μικρή τιμή για 1135#1135, δηλαδή μία σχεδόν γραμμική εφαπτομένη τείνει να κάνει την επόμενη επανάληψη να βρεθεί αρκετά μακριά από την ισχύουσα προσέγγιση.


27#27

Παράδειγμα 5.7   ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΟΝΟΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΠΟΛΛΑΠΛΑΣΙΑ ΡΙΖΑ. Και οι δύο τρόποι συμπεριφοράς φαίνονται στα ακόλουθα παραδείγματα, όπου το πρώτο δείχνει τετραγωνική μετατροπή σε μία απλή ρίζα και το δεύτερο δείχνει γραμμική μετατροπή σε μία πολλαπλάσια ρίζα. Η πολλαπλότητα για το δεύτερο πρόβλημα είναι 2, έτσι 1082#1082.

1080#1080


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24