next up previous contents
Next: Γραμμική κλασματική παρεμβολή Up: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕ Previous: Μέθοδος της τέμνουσας   Contents

ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ

Σε κάθε επανάληψη της μεθόδου 16#16, μια ευθεία γραμμή τοποθετείται σε 1057#1057 Μια υψηλότερη τάξη σύγκλισης ( αλλά που δεν ξεπερνάει το 1057#1057) μπορεί να αποκτηθεί τοποθετώντας ένα πολυώνυμο μεγαλύτερου βαθμού στο κατάλληλο βαθμό των τιμών της συνάρτησης. Για παράδειγμα, κάποιος θα μπορούσε να ταιριάξει (1152#1152) ένα πολυώνυμο δευτέρου βαθμού σε τρεις διαδοχικές επαναλήψεις και να χρησιμοποιήσει μία από τις ρίζες για την επόμενη προσεγγιστική λύση. Ωστόσο, υπάρχουν κάποιες δυσκολίες σ' αυτήν την ιδέα: Το πολυώνυμο μπορεί να μην έχει πραγματικές ρίζες, αλλά ακόμα και αν έχει μπορεί να μην είναι εύκολος ο υπολογισμός τους, όπως επίσης μπορεί να μην είναι εύκολη η επιλογή της ρίζας που θα χρησιμοποιηθεί για την επόμενη επανάληψη. (Από την άλλη, αν κάποιος αναζητήσει μία μιγαδική ρίζα, τότε ένα πολυώνυμο που έχει μιγαδικές ρίζες είναι επιθυμητό. Στη μέθοδο του 1153#1153, για παράδειγμα, ένα δευτέρου βαθμού πολυώνυμο χρησιμοποιείται στις προσεγγιστικές μιγαδικές ρίζες.) Μία λύση σ' αυτές τις δυσκολίες παρέχει η αντίστροφη παρεμβολή, στην οποία ένας τοποθετεί τις τιμές 1051#1051 ως μία συνάρτηση των τιμών 1154#1154, ας πούμε, ένα πολυώνυμο 1155#1155, έτσι ώστε η επόμενη προσεγγιστική λύση να είναι απλά 1156#1156. Αυτή η ιδέα παρουσιάζεται στο Σχεδιάγραμμα 5.7, όπου μία παραβολή τοποθετεί το 170#170 ως μία συνάρτηση του 33#33 δεν έχει πραγματική ρίζα(δηλαδή αποτυγχάνει να διασχίσει τον άξονα των 33#33), αλλά μία παραβολή τοποθετεί το 33#33 ως μία συνάρτηση του 170#170 είναι μερικώς υπολογισμένη στο μηδέν για να αποκτήσουμε την επόμενη επανάληψη. Χρησιμοποιώντας αντίστροφη παρεμβολή δευτέρου βαθμού, για κάθε επανάληψη έχουμε περίπου τρεις προσεγγιστικές λύσεις, τις οποίες ορίζουμε 431#431, 365#365, και 655#655, με τις αντίστοιχες τιμές συναρτήσεων 1157#1157, 1158#1158 και 1159#1159, αντιστοίχως. Η επόμενη προσεγγιστική λύση υπολογίζεται με την τοποθέτηση ενός τετραγωνικού πολυώνυμου στο 431#431, 365#365, και 655#655 ως μία συνάρτηση του 1157#1157, 1158#1158 και 1159#1159, και μετά υπολογίζοντας το πολυώνυμο στο 0. Αυτή η διαδικασία υλοποιείται από τον παρακάτω τύπο, του οποίου η πηγή θα γίνει πιο σαφή όταν ασχοληθούμε με παρεμβολή 1160#1160 στο Κεφάλαιο 7.2.2:

1161#1161

Σχεδιάγραμμα 5.7 Αντίστροφη παρεμβολή για την εύρεση της ρίζας.

Η νέα προσεγγιστική λύση δίνεται από το 1162#1162. Η διαδικασία τότε επαναλαμβάνεται με το 365#365 να αντικαταστείται από τη νέα προσέγγιση, το 431#431 να αντικαταστείται από το παλιό 365#365, και το 655#655 να αντικαταστείται από το παλιό 431#431. Σημειώστε ότι μόνο μία νέα αποτίμηση συνάρτησης είναι απαραίτητη ανά επανάληψη. Η τάξη σύγκλισης της αντίστροφης παρεμβολής δευτέρου βαθμού για την εύρεση της ρίζας είναι 1163#1163, που είναι η ίδια με την κανονική παρεμβολή δευτέρου βαθμού (μέθοδος 1153#1153). Πάλι αυτό το αποτέλεσμα είναι τοπικό, και οι επαναλήψεις πρέπει να ξεκινήσουν αρκετά κοντά στη λύση για να έχουμε σύγκλιση.


27#27

Παράδειγμα 5.9   ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ ΕΞΙΣΩΣΗΣ ΔΕΥΤΕΡΟΥ ΒΑΘΜΟΥ. Θα επιδείξουμε την αντίστροφη παρεμβολή δευτέρου βαθμού βρίσκοντας πάλι τη ρίζα της εξίσωσης


1074#1074

Παίρνοντας 1164#1164, 1165#1165, και 1166#1166 ως αρχικές τιμές, η σειρά των επαναλήψεων φαίνεται παρακάτω, όπου 1167#1167 συμβολίζει τις μεταβολές στο 33#33 σε κάθε επανάληψη.


1144#1144


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24