next up previous contents
Next: μέθοδος Up: ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ ΣΕ Previous: ΑΝΤΙΣΤΡΟΦΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ   Contents

Γραμμική κλασματική παρεμβολή

Η μέθοδος εύρεσης του μηδενός που έχουμε θεωρήσει έτσι μπορεί να έχει κάποια δυσκολία αν η συνάρτηση στην οποία φαίνεται το μηδέν έχει μία οριζόντια ή κάθετη ασύμπτωτη. Μία οριζόντια ασύμπτωτη μπορεί να αποφέρει μία εφαπτομένη ή διατέμνουσα γραμμή που είναι σχεδόν οριζόντια, που να προκαλέσει την επόμενη προσεγγιστική λύση να είναι αρκετά εκτός δρόμου, και μία κάθετη ασύμπτωτη μπορεί να παραλειφθεί οδηγώντας την προσέγγιση σε λάθος διακλάδωση της συνάρτησης. Η γραμμική κλασματική παρεμβολή που χρησιμοποιεί ένα λογικό κλάσμα της μορφής

1168#1168

είναι μία χρήσιμη εναλλακτική λύση σε κάποιες περιπτώσεις. Αυτή η συνάρτηση έχει ένα μηδενικό στο 1169#1169, μία κάθε ασύμπτωτη στο 1170#1170, και μία οριζόντια ασύμπτωτη στο 1171#1171. Στην αναζήτηση ενός μηδενικού σε μία μη γραμμική συνάρτηση 34#34, υποθέστε ότι έχουμε τρεις προσεγγιστικές λύσεις, τις οποίες ορίζουμε 431#431, 365#365 και 655#655, με αντίστοιχες τιμές συνάρτησης 1157#1157, 1158#1158 και 1159#1159, αντιστοίχως. Ταιριάζοντας το κλάσμα 1172#1172 στα τρία σημεία δεδομένων αποφέρει ένα 1173#1173 σύστημα γραμμικών εξισώσεων


1174#1174

των οποίων η λύση ορίζει τους συντελεστές 570#570, 571#571 και 1175#1175. Τώρα αντικαθιστούμε τα 431#431 και 365#365 με τα 365#365 και 655#655, αντιστοίχως, και παίρνουμε την επόμενη προσεγγιστική λύση ώστε να είναι το μηδέν του γραμμικού κλάσματος 1176#1176. Αφού τα 571#571 και 1175#1175 δεν παίζουν κάποιο άμεσο ρόλο, η λύση στο προηγούμενο σύστημα υλοποιείται πιο βολικά ως ένα απλό τύπο για την αλλαγή 63#63 στο 655#655, όπου δίνεται από


1177#1177

Η Γραμμική κλασματική παρεμβολή είναι επίσης αποτελεσματική ως γενικής χρήσης μίας διάστασης ευρετή μηδενικών (1178#1178), όπως το παράδειγμα απεικονίζει. Η ασυμπτωτική του τάξη είναι η ίδια με αυτή που δόθηκε από την τετραγωνική παρεμβολή (αντίστροφη ή κανονική), 1163#1163. Και πάλι αυτό το αποτέλεσμα είναι τοπικό, και οι επαναλήψεις πρέπει να ξεκινάνε αρκετά κοντά στη λύση ώστε να επιτύχουμε σύγκλιση.


27#27

Παράδειγμα 5.10   ΓΡΑΜΜΙΚΗ ΚΛΑΣΜΑΤΙΚΗ ΠΑΡΕΜΒΟΛΗ. Απεικονίζουμε τη γραμμική κλασματική παρεμβολή υπολογίζοντας και πάλι τη ρίζα της εξίσωσης

1074#1074

Παίρνοντας 1164#1164, 1165#1165, και 1166#1166 και τις αρχικές τιμές, η ακολουθία των επαναλήψεων φαίνεται παρακάτω.


1144#1144


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24