next up previous contents
Next: Η ΜΕΘΟΔΟΣ ΤΟΥ ΝΕΥΤΟΝΑ Up: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ Previous: ΣΥΣΤΗΜΑΤΑ ΜΗ ΓΡΑΜΜΙΚΩΝ ΕΞΙΣΩΣΕΩΝ   Contents

Επανάληψη σταθερού σημείου

Όπως ακριβώς για μία διάσταση, ένα σύστημα μη γραμμικών εξισώσεων μπορεί να μετατραπεί σε ένα πρόβλημα σταθερού σημείου, έτσι τώρα εμείς σύντομα σκεφτόμαστε την πολυδιάστατη περίπτωση. Εάν 1191#1191 τότε ένα πρόβλημα σταθερού σημείου για 1087#1087 είναι να βρούμε εάν 366#366-διάστατο διάνυσμα 33#33 τέτοιο ώστε

1085#1085

Η αντίστοιχη σταθερού σημείου επανάληψη είναι απλά

1192#1192

Έχοντας ως δεδομένο κάποιο αρχικό διάνυσμα 1092#1092. (Πραγματευόμενοι επαναληπτικές μεθόδους για πολυδιάστατα προβλήματα, 1193#1193 μπορούν να δείχνουν είτε ένα διάνυσμα σε μία ακολουθία, είτε μία συγκεκριμένη συνιστώσα ενός δοσμένου διανύσματος. Η διάκριση πρέπει να είναι ξεκάθαρη από τα περιφραζόμενα.)

Σχεδιάγραμμα 5.8 Κάποια συστήματα μη γραμμικών εξισώσεων

Σε μία διάσταση, βλέπουμε ότι η σύγκλιση (και η τάξη σύγκλισης) μίας επανάληψης σταθερού σημείου καθορίζεται από 1194#1194, όπου 1052#1052 είναι η λύση. Σε υψηλότερες διαστάσεις η ανάλογη κατάσταση είναι

1195#1195

όπου 1196#1196 ορίζει τον πίνακα του 1197#1197 του 1087#1087 υπολογιζόμενο στο 33#33,

1198#1198

και το 603#603 ορίζει την φασματική ακτίνα ( 1199#1199), το οποίο ορίζεται να είναι μέγιστου μόντουλου των ιδιοτιμών του πίνακα (δες Κεφάλαιο 4.1). Εάν η προηγούμενη κατάσταση έχει ικανοποιηθεί, τότε η επανάληψη του σταθερού σημείου συγκλίνει εάν ξεκινήσει αρκετά κοντά στη λύση. (Σημειώστε ότι ο έλεγχος αυτής της κατάστασης δεν απαιτεί υποχρεωτικά υπολογισμό των ιδιοτιμών, εφόσον 1200#1200 για κάθε δευτερεύουσα νόρμα πίνακα σε μία νόρμα διανύσματος. Δες Άσκηση 4.11). Όπως με τα αριθμητικά συστήματα όσο μικρότερη είναι η φασματική ακτίνα τόσο γρηγορότερη η τάξη σύγκλισης. Πιο συγκεκριμένα εάν 1201#1201 ο μηδενικός πίνακας, τότε η τάξη σύγκλισης είναι το λιγότερο δευτεροβάθμια. Στη συνέχεια θα δούμε ότι η μέθοδος του Νεύτωνα είναι ένας συστηματικός τρόπος επιλογής του 1087#1087 ώστε αυτό να συμβαίνει.



Manolis Vavalis 2000-03-24