next up previous contents
Next: Ευστάθεια και Ακρίβεια Up: Προσεγγίσεις στους Επιστημονικούς Υπολογισμούς Previous: Ευαισθησία και Κατάσταση   Contents

Προς τα Πίσω Ανάλυση Σφαλμάτων

Αναλύοντας σε έναν υπολογισμό τη μετάδοση των σφαλμάτων, από τα δεδομένα του προβλήματος στα αποτελέσματα, είναι συχνά πολύ δύσκολο. Επί πλέον, οι υποθέσεις που γίνονται σε ακραίες περιπτώσεις στο κάθε στάδιο οδηγούν συχνά σε ένα πολύ απαισιόδο φράγμα για το συνολικό σφάλμα. Μία εναλλακτική προσέγγιση είναι η προς τα πίσω ανάλυση σφαλμάτων: Θεωρείστε ότι η λαμβανόμενη προσεγγιστική λύση είναι η ακριβής λύση ενός τροποποιημένου προβλήματος, και τότε αναρωτηθείτε πόσο μεγάλη χρειάζεται να είναι η τροποποίηση στο αρχικό πρόβλημα για να δώσει το ίδιο αποτέλεσμα. Με άλλα λόγια, πόσο μεγάλο θα έπρεπε να είναι το σφάλμα στα αρχικά δεδομένα, για να δικαιολογήσει όλο το σφάλμα στο τελικά υπολογιζόμενο αποτέλεσμα; Σε όρους της προς τα πίσω ανάλυσης σφαλμάτων, μία προσεγγιστική λύση σε ένα δοσμένο πρόβλημα είναι καλή αν είναι η ακριβής λύση ενός προβλήματος που βρίσκεται "κοντά" στο δοσμένο.

Figure: Σχηματικό διάγραμμα της προς τα πίσω ανάλυσης σφαλμάτων.
73#73

Οι παραπάνω σχέσεις παρουσιάζονται σχηματικά (και όχι μετρημένες με κλίμακα)στο Σχ. 1.1, όπου τα 33#33 και 51#51 δηλώνουν τα ακριβή δεδομένα και την ακριβή συνάρτηση, αντίστοιχα, η 36#36 δηλώνει την προσεγγιστική συνάρτηση που πραγματικά υπολογίζεται, και 47#47 δηλώνει την τιμή των δεδομένων για την οποία η ακριβής συνάρτηση θα έδινε το ίδιο υπολογισμένο αποτέλεσμα. Σημειώστε ότι η ισότητα 74#74 οφείλεται στην επιλογή του 47#47. Πράγματι, αυτή η απαίτηση ορίζει το 47#47.

27#27

Παράδειγμα 1.4   Προς τα πίσω ανάλυση σφαλμάτων. Υποθέστε ότι θέλουμε μία απλή συνάρτηση για να προσεγγίσουμε την εκθετική συνάρτηση 57#57, και ότι θέλουμε να εξετάσουμε την ακρίβειά της για τη τιμή της μεταβλητής 75#75. Γνωρίζουμε ότι η εκθετική συνάρτηση δίνεται από τη σειρά

76#76

άρα μπορούμε να θεωρήσουμε ότι αποκόπτουμε τη σειρά, ας πούμε, μετά από τους τέσσερις πρώτους όρους, οπότε παίρνουμε την προσέγγιση

77#77

Το προς τα μπρος σφάλμα αυτής της προσέγισης δίνεται τότε από την έκφραση

78#78

Για να προσδιορίσουμε το σφάλμα στην προς τα πίσω ανάλυση του, χρειάζεται να γνωρίζουμε την τιμή των δεδομένων 47#47 για την 36#36, η οποία δίνει το αποτέλεσμα που ουσιαστικά πήραμε από την 36#36, δηλαδή, για την οποία ισχύει 74#74. Για την εκθετική συνάρτηση, γνωρίζουμε ότι αυτή η τιμή δίνεται από τη σχέση:

79#79

Αρα, για τη συγκεκριμένη τιμή δεδομένων 75#75, έχουμε, με προσέγγιση επτά σημαντικών ψηφίων,

80#80


81#81

Σφάλμα προς τα μπρος ανάλυσης = 82#82
Σφάλμα προς τα πίσω ανάλυσης = 83#83
Σκοπός μας εδώ δεν είναι να συγκρίνουμε τις αριθμητικές τιμές των δύο τύπων σφάλματος ποσοτικά, αλλά απλά να παρουσιάσουμε τις ιδέες που εμπλέκονται και να δείξουμε ότι και οι δύο είναι εξίσου ορθές προσεγγίσεις για την εκτίμηση της ακρίβειας. Σ' αυτή την περίπτωση, το σφάλμα της προς τα μπρος ανάλυσης δείχνει ότι η ακρίβεια είναι αρκετά καλή επειδή το αποτέλεσμα βρίσκεται κοντά σ' αυτό που θέλαμε να υπολογίσουμε, ενώ το σφάλμα της προς τα πίσω ανάλυσης δείχνει ότι η ακρίβεια είναι αρκετά καλή επειδή το αποτέλεσμα που λάβαμε είναι ακριβές για δεδομένα που είναι λίγο διαταραγμένα.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24