next up previous contents
Next: ΒΕΛΤΙΣΤΟΠΟΙΗΣΗ ΣΕ ΜΙΑ ΔΙΑΣΤΑΣΗ Up: Βελτιστοποιήση Previous: Σχέση με Μη Γραμμικά   Contents

Ακρίβεια των Λύσεων

Θεωρείστε την επέκταση της σειράς 210#210

1212#1212

όπου 32#32. Αν 1213#1213 και 1214#1214, κατάσταση πολύ συνηθισμένη κατά την επίλυση μίας μη γραμμικής εξίσωσης, τότε η προηγούμενη επέκταση δείχνει ότι για μικρές τιμές του 63#63 ισχύει 1215#1215, όπου 1216#1216. Αυτή η έκφραση δείχνει ότι μικρές αλλαγές στην τιμή του 1048#1048 προκαλούν αναλόγως μικρές αλλαγές στην 1217#1217, και άρα η λύση μπορεί να υπολογιστεί με όση, σχεδόν, ακρίβεια μπορούν να υπολογιστούν και οι τιμές της συνάρτησης, ακρίβεια την οποία συνήθως μπορεί να πετύχει μία μηχανή.

Παρόλα αυτά, σε ένα πρόβλημα ελαχιστοποίησης συνήθως έχουμε ότι 1218#1218 και 1219#1219, έτσι ώστε για μικρές τιμές του 63#63 να ισχύει 1220#1220, όπου 1221#1221. Αυτή η έκφραση δηλώνει ότι μία μικρή αλλαγή της τάξεως του 63#63 στο 1048#1048 προκαλλεί μία αλλαγή της τάξεως του 1222#1222 στο 1217#1217, και άρα δεν μπορεί να περιμένει κανείς ότι η ακρίβεια της λύσης θα είναι μικρότερη από την τετραγωνική ρίζα του σφάλματος των τιμών της συνάρτησης. Γεωμετρικά, ένα ελάχιστο είναι ανάλογο μίας πολλαπλής ρίζας μίας μη γραμμικής εξίσωσης: και στις δύο περιπτώσεις υπάρχει μία οριζόντια εφαπτόμενη που δηλώνει ότι η συνάρτηση είναι τοπικά σχεδόν παράλληλη στον άξονα 33#33, και άρα η λύση είναι σχετικά κακής κατάστασης. Παρόλο που οι απλές ρίζες μίας συνάρτησης μπορούν συχνά να βρεθούν με την ακρίβεια μίας σχεδόν πλήρους ακρίβειας μηχανής, τα στοιχεία που περιορίζουν στο ελάχιστο μία συνάρτηση μπορούν να βρεθούν περίπου με τη μισής, μόνο, ακρίβειας προσέγγιση (π.χ., 1223#1223). Αυτό το γεγονός θα πρέπει να το θυμόμαστε όταν επιλέγουμε μία νεκτικότητα στο σφάλμα για ένα πρόβλημα βελτιστοποίησης: μία εξωπραγματικά στενή ανεκτικότητα μπορεί να αυξήσει το κόστος του υπολογισμού μίας λύσης χωρίς να παραχθεί κάποιο ως προς την ακρίβεια.



Manolis Vavalis 2000-03-24