next up previous contents
Next: Προβλήματα Αρχικών Τιμών Up: Προβλήματα Αρχικών Τιμών Συνήθων Previous: Προβλήματα Αρχικών Τιμών Συνήθων   Contents

ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ας εξετάσουμε τώρα προβλήματα συνήθων διαφορικών εξισώσεων, δηλαδή εξισώσεις που περιέχουν παραγώγους της άγνωστης λύσης. Μέχρι τώρα είχαμε ασχοληθεί μόνο με αλγεβρικές εξισώσεις, για τις οποίες η άγνωστη λύση ήταν ένα διακριτό διάνυσμα ενός χώρου πεπερασμένης διάστασης. Σε αντίθεση, η λύση μίας διαφορικής εξίσωσης είναι μια συνεχής συνάρτηση σε έναν απειροδιάστατο χώρο. Ο τρόπος της αριθμητικής επίλυσης διαφορικών εξισώσεων που θα παρουσιάσουμε βασίζεται σε πεπερασμένης διάστασης προσεγγίσης της λύσης, μια διαδικασία γνωστή με το όνομα διακριτοποίηση. Θα αντικαταστήσουμε τις διαφορικές εξισώσεις με γραμμικές εξισώσεις των οποίων οι λύσεις προσεγγίζουν τις λύσεις των διαφορικών εξισώσεων.

Κατ' αρχήν, θα δώσουμε μερικούς ορισμούς και θα εισαγάγουμε τον απαραίτητο συμβολισμό. Ένα σύστημα συνήθων διαφορικών εξισώσεων (ΣΔΕ) έχει την γενική μορφή


1361#1361

οπου 49#49 είναι μία πραγματική μεταβλητή, 1362#1362 είναι μια διανυσματική συνάρτηση του 49#49, 1363#1363 και όπου με 1364#1364 συμβολίζουμε την παράγωγο ως προς 49#49, δηλ.,


1365#1365

Συνεπώς, έχουμε ένα σύστημα ?? διαφορικών εξισώσεων στο οποίο μας δίδεται η συνάρτηση 51#51 και θέλουμε να βρούμε την άγνωστη συνάρτηση 170#170. Μία σημαντική ειδική περίπτωση, με την οποία θα ασχολήθούμε συχνά χάριν απλούστευσης, είναι όταν 1366#1366, δηλ., μία μόνον ΣΔΕ.



Subsections

Manolis Vavalis 2000-03-24