next up previous contents
Next: ΣΔΕ Υψηλότερης Τάξης Up: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Previous: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ   Contents

Προβλήματα Αρχικών Τιμών

Απο μόνη της μία διαφορική εξίσωση 1367#1367 δεν καθορίζει μοναδικά την συνάρτηση λύσης επειδή απο μόνη της η εξίσωση ορίζει την κλήση 1368#1368 της συνάρτησης λύσης σε κάθε σημείο και όχι την τιμή της. Κατ' αυτόν το τρόπο, γενικά υπάρχει μιά ολόκληρη οικογένεια συναρτήσεων που ικανοποιεί την διαφορική εξίσωση, υποθέτοντας φυσικά οτι η 51#51 είναι αρκετά ομαλή.

Για να έχουμε μοναδικότητα της λύσης, πρέπει να ορίσουμε με κάποιον τρόπο την τιμή 1369#1369 της λύσης σε κάποιο σημείο το οποίο ας συμβολίσουμε με 1370#1370. Συνεπώς ένα μέρος των δεδομένων του δοθέντος προβλήματος είναι η συνθήκη


1371#1371

Η επιπρόσθετη αυτή συνθήκη ορίζει μοναδικά την λύση της ΣΔΕ, υποθέτοντας ότι η 51#51 είναι συνεχώς διαφορίσιμη. Επειδή συνήθως η μεταβλητή 49#49 παριστά χρόνο, συχνά θεωρούμε το 1370#1370 σαν αρχική χρονική στιγμή και το 1369#1369 σαν αρχική τιμή. Αυτός είναι ο λόγος που το παραπάνω πρόβλημα αναφέρεται σαν πρόβλημα αρχικών τιμών. Η ΣΔΕ καθορίζει την δυναμική εξέλιξη του συστήματος στον χρόνο σχετικά με την αρχική κατάστασή του 1369#1369 στην χρονική στιγμή 1370#1370 και αναζητούμε μια συνάρτηση 1372#1372 η οποία περιγράφει την κατάσταση του συστήματος σαν συνάρτηση του χρόνου.


27#27

Παράδειγμα 9.1   ΠΡΟΒΛΗΜΑ ΑΡΧΙΚΩΝ ΤΙΜΩΝ.

Θεωρήστε την συνήθη διαφορική εξίσωση 17#17, η οποία είναι μια ΣΔΕ της μορφής 1367#1367, όπου 1373#1373. Η οικογένεια των λύσεων της εξίσωσης αυτής δίνεται απο την σχέση 1374#1374, όπου 655#655 είναι ένας τυχαίος πραγνατικός αριθμός. Έαν επισυνάψουμε μια αρχική συνθήκη, απαιτώντας να ισχύει η σχέση 1375#1375, τότε ορίζουμε μοναδικά την συνάρτηση τησ λύσης που ικανοποιεί την αρχική αυτήν συνθήκη. Για παράδειγμα εάν 1376#1376, τότε έχουμε 1377#1377, το οποίο σημαίνει ότι η λύση είναι 1378#1378. Στο σχήμα [*] παρουσιάζονται μερικές απο τις συναρτήσεις που ικανοποιούν την διαφορική εξίσωση συμπεριλαμβανομένης και αυτής που ικανοποιεί και την αρχική συνθήκη.


27#27

Figure: Γραφική παράσταση μερικών μελών της οικογένειας των λύσεων της ΣΔΕ 17#17.
1379#1379



Manolis Vavalis 2000-03-24