next up previous contents
Next: Ευσταθείς και Ασταθείς ΣΔΕ Up: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Previous: Προβλήματα Αρχικών Τιμών   Contents

ΣΔΕ Υψηλότερης Τάξης

Αν η πρώτη παράγωγος είναι η παράγωγος υψηλότερου βαθμού της συνάρτησης λύσης η οποία εμφανίζεται στην εξίσωση, μία ΣΔΕ λέμε ότι είναι πρώτου βαθμού. Εξισώσεις με παραγώγους υψηλότερου βαθμού συναντώνται συχνά στην πράξη αλλά μπορούν να μετασχηματιστούν σε ένα ισοδύναμο σύστημα πρώτου βαθμού όπως αυτό που ακολουθεί.

Δοσμένης μίας εξίσωσης βαθμού 366#366

1380#1380

, ορίζουμε τους 366#366 καινούργιους άγνωστους 1381#1381, 1382#1382, ..., 1383#1383, έτσι ώστε η αρχική εξίσωση γίνεται το πρωτοβάθμιο σύστημα των 366#366 εξισώσεων

1384#1384

Aρα, γενικά, μία κλίμακα ΣΔΕ βαθμού 366#366 είναι ισοδύναμη με ένα σύστημα 366#366 ΣΔΕ πρώτου βαθμού. Αν ένα σύστημα από ΣΔΕ περιέχει εξισώσεις οι οποίες έχουν παραγώγους υψηλότερου βαθμού, τότε κάθε τέτοια εξίσωση μπορεί να μετασχηματιστεί σε ένα ισοδύναμο σύστημα πρώτου βαθμού με τον ίδιο τρόπο. Για παράδειγμα, ένα σύστημα από δύο εξισώσεις δεύτερου βαθμού θα έδινε ένα ισοδύναμο σύστημα από τέσσερις εξισώσεις πρώτου βαθμού. Για αυτό τον λόγο, το μεγαλύτερο μέρος του λογισμικού για ΣΔΕ είναι σχεδιασμένο για να λύνει μόνο εξισώσεις πρώτου βαθμού, και ακόμα θα περιορίσουμε την προσοχή μας στις εξισώσεις πρώτου βαθμού στη συζήτηση αριθμητικών μεθόδων επίλυσης.


27#27

Παράδειγμα 9.2   Ο ΔΕΥΤΕΡΟΣ ΝΟΜΟΣ ΤΟΥ 1274#1274.

Για να δείξουμε τον μετασχηματισμό ενός ΣΔΕ υψηλότερου βαθμού σε ένα ισοδύναμο σύστημα ΣΔΕ πρώτου βαθμού, θεωρείστε το δεύτερο νόμο του 1385#1385 για την Κίνηση, 1386#1386, στη μία διάσταση. Αυτή είναι μία ΣΔΕ δευτέρου βαθμού, αφού η επιτάχυνση του 431#431 είναι η δεύτερη παράγωγος της συντεταγμένης της θέσης, την οποία δηλώνουμε με 33#33. Άρα, η ΣΔΕ έχει τη μορφή

1387#1387

, όπου τα 1388#1388 και 114#114 αναπαριστούν τη δύναμη και τη μάζα, αντίστοιχα. Για να μετασχηματίσουμε αυτή τη δευτεροβάθμια, βαθμωτή ΣΔΕ σε ένα σύστημα από δύο πρωτοβάθμιες ΣΔΕ, ορίζουμε δύο νέες συναρτήσεις 1389#1389 και 1390#1390. Αυτό το βήμα μας σύστημα των δύο εξισώσεων δευτέρου βαθμού

1391#1391

Μπορούμε τώρα να χρησιμοποιήσουμε μία μέθοδο από αυτές για εξισώσεις πρώτου βαθμού για να λύσουμε το σύστημα. Όταν το κάνουμε αυτό, η πρώτη συνιστώσα της λύσης 1392#1392 θα είναι η ίδια με τη λύση 33#33 της αρχικής εξίσωσης δευτέρου βαθμού. Ακόμα, θα πάρουμε και τη δεύτερη συνιστώσα 1393#1393, η οποία είναι η ίδια με την ταχύτητα 1394#1394. Στις τρεις διαστάσεις, ο Νόμος του 14#14 θα περιλάμβανε τρεις δευτεροβάθμιες εξισώσεις, μία για κάθε συντεταγμένη στο χώρο, και θα παρήγαγε ένα ισοδύναμο σύστημα έξι πρωτοβάθμιων εξισώσεων.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24