next up previous contents
Next: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ODES Up: ΣΥΝΗΘΗΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Previous: ΣΔΕ Υψηλότερης Τάξης   Contents

Ευσταθείς και Ασταθείς ΣΔΕ

Μιλώντας πρόχειρα, αν τα μέλη της οικογένειας λύσεων για μία ΣΔΕ απομακρύνονται μεταξύ τους με το πέρασμα του χρόνου, τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι ασταθής. Αλλά αν τα μέλη της οικογένειας λύσεων πλησιάζουν το ένα στο άλλο με το πέρασμα του χρόνου, τότε λέμε ότι η συνάρτηση είναι σταθερή. Αν οι καμπύλες των λύσεων ούτε συγκλίνουν ούτε αποκλίνουν (δηλ., παραμένουν κοντά αλλά δεν συγκλίνουν στ' αλήθεια), τότε λέμε ότι η εξίσωση είναι ουδέτερα σταθερή. Αυτός ο ορισμός της σταθερότητας για τις ΣΔΕ συμφωνεί με τη γενική αρχή της σταθερότητας όπως αυτή συζητήθηκε στην Ενότητα 1.2.7 και γι' αυτό εκφράζει την ευαισθησία μίας λύσης ΣΔΕ στις διαταραχές. Μία μικρή διαταραχή σε μία λύση σταθερής εξίσωσης θα εξασθενίσει με το πέρασμα του χρόνου επειδή οι καμπύλες των λύσεων συγκλίνουν, ενώ για μία ασταθή εξίσωση η διαταραχή θα μεγαλώνει με το χρόνο επειδή οι καμπύλες των λύσεων αποκλίνουν.

Η σταθερότητα ενός κώνου παρέχει μία γεωμετρική αναλογία που βοηθάει. Αν ένας κώνος ο οποίος ηρεμεί στην κυκλική του βάση διαταραχθεί ελαφρώς, θα επιστρέψει στην αρχική του θέση. Η θέση είναι σταθερή. Αν ένας κώνος ταλαντεύεται στη θέση του, η παραμικρή διαταραχή θα προκαλέσει την πτώση του. Η θέση είναι ασταθής. Αν ένας κώνος ηρεμεί στην επικλινή πλευρά του, τότε η παραμικρή διαταραχή θα μετακινήσει τον κώνο σε μία θέση κοντά σε αυτή που ήταν. Η θέση είναι ουδέτερα σταθερή.

Παρατηρείστε ότι η αρχή της σταθερότητας μίας 1395#1395 εξαρτάται από ολόκληρη την οικογένεια των λύσεων, όχι μόνο από μία ορισμένη λύση. Ακόμα, τόσο η σταθερή όσο και η ασταθής συμπεριφορά μπορούν να συναντηθούν σε διαφορετικά τμήματα της περιοχής που μας ενδιαφέρει για την ίδια εξίσωση.

Αυτή η ποιοτική αρχή της σταθερότητας για μία 1395#1395 1367#1367 μπορεί να γίνει πιο ακριβής ποιοτικά αν θεωρήσουμε τον Ιακωβιανό πίνακα 1396#1396 με εισόδους

1397#1397

Αν οποιαδήποτε από τις ιδιοτιμές αυτού του πίνακα έχει θετικά πραγματικά τμήματα, τότε η εξίσωση είναι ασταθής. Αν όλες οι ιδιοτιμές έχουν αρνητικά πραγματικά τμήματα, τότε η εξίσωση είναι σταθερή. Αν μία ή περισσότερες ιδιοτιμές έχουν μηδενικά πραγματικά τμήματα, και όλο το υπόλοιπο έχει αρνητικά πραγματικά τμήματα, τότε η εξίσωση είναι ουδέτερα σταθερή. Αφού τα στοιχεία του 1396#1396 είναι συναρτήσεις των 49#49 και 170#170, οι ιδιοτιμές του μπορεί να ποικίλουν με το πέρασμα του χρόνου, και άρα η σταθερότητα της εξίσωσης μπορεί να ποικίλει από πεδίο σε πεδίο.


27#27

Παράδειγμα 9.3   ΣΤΑΘΕΡΗ 1395#1395. Στο παράδειγμα 9.1, θεωρήσαμε την 1395#1395 17#17 και σχεδιάσαμε την οικογένεια των καμπυλών λύσεών της 1374#1374 στο Σχήμα 9.1. Από την εκθετική αύξηση των λύσεων, γνωρίζουμε ότι οι καμπύλες λύσεων για αυτή την εξίσωση αποκλίνουν μεταξύ τους με το πέρασμα του χρόνου, όπως βλέπουμε στο Σχήμα 9.1. Οπότε μπορούμε να συμπεράνουμε ότι η εξίσωση είναι ασταθής. Πιο αυστηρά, σημειώνουμε ότι η Ιακωβιανή της 51#51 (δηλ., 1398#1398) είναι θετική (στην πραγματικότητα, είναι η σταθερά 1), οπότε η εξίσωση είναι ασταθής.


27#27

Παράδειγμα 9.4   ΑΣΤΑΘΗΣ 1395#1395. Ας θεωρήσουμε τώρα μία διαφορετική εξίσωση, δηλαδή, την 1399#1399. Η οικογένεια των λύσεων για αυτή την εξίσωση δίνεται από την 1400#1400, όπου 655#655 είναι οποιαδήποτε πραγματική σταθερά. Για αυτή την εξίσωση βλέπουμε ότι η Ιακωβιανή της 51#51 είναι αρνητική (1401#1401), οπότε η εξίσωση είναι σταθερή. Μπορούμε επίσης να το δούμε αυτό από την εκθετική εξασθένιση των λύσεων, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.2, στο οποίο είναι ζωγραφισμένα μερικά μέλη της οικογένειας λύσεων για αυτή την εξίσωση.


27#27

Παράδειγμα 9.5   ΟΥΔΕΤΕΡΑ ΣΤΑΘΕΡΕΣ 1395#1395. Τελικά, θεωρείστε την 1395#1395 1402#1402, για μία δοσμένη σταθερά 431#431. Η οικογένεια των λύσεων δίνεται από την 1403#1403, όπου το 655#655 είναι οποιαδήποτε πραγματική σταθερά. Άρα, οι καμπύλες της λύσης, όπως αυτές παρουσιάζονται για 1404#1404 στο σχήμα 9.3, είναι παράλληλες ευθείες γραμμές που ούτε συγκλίνουν ούτε αποκλίνουν, και άρα η εξίσωση είναι ουδέτερα σταθερή. Σημειώστε ότι 1405#1405 για αυτή την εξίσωση, σύμφωνα με την ουδέτερη σταθερότητά της. Σημειώστε ακόμα ότι αυτό που καθορίζει την σταθερότητα δεν είναι το αν οι καμπύλες των λύσεων αυξάνονται ή μειώνονται (κάθε περίπτωση μπορεί να ισχύει σε αυτή την εξίσωση, ανάλογα με το αν το 431#431 είναι θετικό ή αρνητικό) αλλά μάλλον η σχέση των καμπυλών των λύσεων μεταξύ τους.


27#27

ΣΧΗΜΑ 9.2 ΣΧΗΜΑ 9.3 Η οικογένεια των καμπυλών Η οικογένεια καμπυλών λύσεων για λύσεων για την 1395#1395 1399#1399. την 1395#1395 1406#1406.


27#27

Παράδειγμα 9.6   ΓΡΑΜΜΙΚΟ ΣΥΣΤΗΜΑ 19#19. Ένα γραμμικό, ομοιογενές σύστημα 1407#1407 με σταθερούς συντελεστές έχει τη μορφή

1408#1408

, όπου Α είναι ένας 1409#1409 πίνακας. Υποθέτουμε ότι έχουμε την αρχική συνθήκη 1410#1410. Έστω ότι οι ιδιοτιμές του Α δηλώνονται από το 1411#1411, και τα αντίστοιχα ιδιοδιανύσματα από το 1412#1412. Για λόγους απλότητας, υποθέστε ότι τα ιδιοδιανύσματα είναι γραμμικά ανεξάρτητα, έτσι ώστε να μπορούμε να εκφράσουμε το 1369#1369 ως ένα γραμμικό συνδυασμό

1413#1413

Τότε επιβεβαιώνεται εύκολα ότι η

1414#1414

είναι μία λύση στην 1395#1395 η οποία ικανοποιεί την αρχική συνθήκη. Βλέπουμε ότι οι ιδιοτιμές του Α με θετικά πραγματικά τμήματα παράγουν εκθετικά αυξανόμενες συνιστώσες της λύσης, οι ιδιοτιμές με αρνητικά τμήματα παράγουν εκθετικά μειούμενες συνιστώσες της λύσης, και ακέραιες φανταστικές ιδιοτιμές με μηδενικά πραγματικά τμήματα παράγουν ταλαντούμενες συνιστώσες της λύσης. Τα παραπάνω είναι σύμφωνα με τους ορισμούς μας για την αστάθεια, τη σταθερότητα και την ουδέτερη σταθερότητα, αντίστοιχα, όπως 1415#1415 για αυτό το πρόβλημα.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24