next up previous contents
Next: ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ Up: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ODES Previous: ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΗ ΛΥΣΗ ΤΩΝ ODES   Contents

Η Μέθοδος 18#18

Μία αριθμητική λύση μίας 1395#1395 παράγεται προσομοιώνοντας τη συμπεριφορά του συστήματος το οποίο ελέγχεται από την 1395#1395. Ξεκινώντας από το 1416#1416 με τη δοσμένη αρχική τιμή, θέλουμε να ακολουθήσουμε την τροχιά η οποία υπαγορεύεται από την 1395#1395. Η εκτίμηση της 1417#1417 μας δίνει της κλίση της τροχιάς στο συγκεκριμένο σημείο. Χρησιμοποιούμε αυτή την πληροφορία για να προβλέψουμε την τιμή 898#898 της λύσης σε κάποια μετέπειτα χρονική στιγμή 1418#1418 για κάποια κατάλληλα επιλεγμένη αύξηση 63#63.

Το απλούστερο παράδειγμα αυτής της μεθόδου είναι η μέθοδος 18#18. Θεωρείστε τη σειρά 210#210

1419#1419

Η μέθοδος 18#18 αντλείται από μικρά τμήματα δεύτερης και μεγαλύτερης τάξης για να πάρουμε την τιμή της προσεγγιστικής λύσης

1420#1420

η οποία μας επιτρέπει να περάσουμε από τη χρονική στιγμή 1421#1421 στην 1422#1422. Ισοδύναμα, αν αντικαταστήσουμε την παράγωγο στην διαφορική εξίσωση 1367#1367 με ένα πηλίκο πεπερασμένων διαφορών, παίρνουμε την αλγεβρική εξίσωση

1423#1423

η οποία όταν λυθεί για 1424#1424 δίνει τη μέθοδο 18#18. Άρα, η μέθοδος 18#18 προάγει τη λυση με το να εξάγει συμπερασματικά μία ευθεία γραμμή της οποίας η κλίση δίνεται από τη 1425#1425. Η μέθοδος 18#18 λέγεται μέθοδος ενός βήματος επειδή εξαρτάται από την πληροφορία σε ένα μόνο σημείο την κάθε φορά το αν θα προαχθεί στο επόμενο σημείο.


27#27

Παράδειγμα 9.7   Η ΜΕΘΟΔΟΣ 1426#1426. Προηγουμένως θεωρήσαμε την εξίσωση 17#17, η οποία είναι εύκολο να λυθεί αναλυτικά, αλλά για επεξήγηση της μεθόδου 18#18, ας την εφαρμόσουμε για να λύσουμε αυτή την εξίσωση αριθμητικά. Για κάποιο μέγεθος βήματος 63#63, προάγουμε τη λύση από τη χρονική στιγμή 1427#1427 στη χρονική στιγμή 1418#1418:

1428#1428

Σημειώστε ότι η τιμή της λύσης που παίρνουμε στο 1429#1429 δεν είναι ακριβής (δηλ., 1430#1430). Για παράδειγμα, αν 1431#1431, και 1432#1432, τότε παίρνουμε 1433#1433, ενώ η ακριβής λύση για αυτή την αρχική τιμή είναι 1434#1434.

Από τη σειρά 210#210 που χρησιμοποιήθηκε για να πάρουμε τη μέθοδο 18#18, ξέρουμε ότι το σφάλμα είναι ανάλογο του 1222#1222, οπότε μπορούμε να μειώσουμε το σφάλμα για αυτό το βήμα κατά έναν παράγοντα 1435#1435 μειώνοντας το μέγεθος του ενός βήματος κατά έναν παράγοντα 1436#1436, υπό τον όρο ότι το στρογγυλοποιημένο σφάλμα είναι αμελητέο. Παρόλα αυτά, για κάθε μη μηδενικό σφάλμα, η τιμή 1392#1392 βρίσκεται σε ένα διαφορετικό μέλος της οικογένειας των καμπυλών λύσης από αυτό από το οποίο ξεκινήσαμε.

Για να συνεχίσουμε τη διαδικασία της αριθμητικής επίλυσης, κάνουμε άλλο ένα βήμα από το 899#899 στο 1437#1437, για να πάρουμε το 1438#1438. Προσέξτε ότι το 1439#1439 διαφέρει όχι μόνο από την πραγματική λύση του αρχικού προβλήματος στο 1440#1440, δηλαδή, 1441#1441 αλλά διαφέρει ακόμα και από την καμπύλη της λύσης που περνάει από το προηγούμενο σημείο (1442#1442), το οποίο παίρνει την προσεγγιστική τιμή 2.473 στο 1440#1440. Άρα, έχουμε μετακινηθεί σε ένα άλλο μέλος της ίδιας οικογένειας καμπυλών λύσεων για αυτή την 1395#1395. Μπορούμε να συνεχίσουμε να προχωράμε κι άλλα βήματα, παράγοντας έναν πίνακα από ξεχωριστές τιμές της προσεγγιστικής λύσης σε οποιοδήποτε διάστημα θέλουμε. Όσο κάνουμε αυτό το πράγμα, θα πεταγόμαστε από το ένα μέλος της οικογένειας των λύσεων στο άλλο με ένα βήμα.

Γι' αυτή την ασταθή εξίσωση, τα σφάλματα που κάνουμε κατά την εφαρμογή της αριθμητικής μεθόδου ενισχύονται με την πάροδο του χρόνου ως αποτέλεσμα της απόκλισης των καμπυλών, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.4. Για μία σταθερή εξίσωση όπως η 1399#1399, από την άλλη, τα σφάλματα στην αριθμητική λύση μπορεί να ελαττωθούν με την πάροδο του χρόνου, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.5.

ΣΧΗΜΑ 9.4 Η μέθοδος 18#18 για την 1443#1443. ΣΧΗΜΑ 9.7 Η μέθοδος 18#18 για την 1444#1444.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24