next up previous contents
Next: Σταθερότητα μίας Αριθμητικής Μεθόδου Up: ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ Previous: ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ   Contents

Βαθμός Ακρίβειας

Όπως και άλλες μέθοδοι που αντικαθιστούν τις παραγώγους με πεπερασμένες διαφορές, μία αριθμητική διαδικασία για την επίλυση μίας 1395#1395 υποφέρει από δύο ευκρινείς πηγές σφάλματος:

Παρόλο που προέρχονται από διαφορετικές πηγές, αυτοί οι δύο τύποι σφαλμάτων δεν είναι ανεξάρτητοι ο ένας από τον άλλον. Για παράδειγμα, το σφάλμα αποκοπής μπορεί συνήθως να ελαττωθεί χρησιμοποιώντας μικρότερο μέγεθος βήματος 63#63, αλλά κάνοντας αυτό μπορεί να προκαλέσουμε μεγαλύτερο σφάλμα στρογγυλοποίησης (δείτε το παράδειγμα 1.11). Παρόλα αυτά, στις περισσότερες περιπτώσεις στην πράξη, το σφάλμα αποκοπής είναι ο κύριος παράγοντας κατά τον καθορισμό της ακρίβειας των αριθμητικών λύσεων των 1407#1407, και θα πρέπει από εδώ και στο εξής να αγνοούμε το σφάλμα στρογγυλοποίησης.

Το σφάλμα αποκοπής στο βήμα 432#432 μίας αριθμητικής λύσης μίας 1395#1395 μπορεί να μπορεί περαιτέρω να χωριστεί σε δύο:

Το καθολικό σφάλμα δεν είναι απαραίτητα το ίδιο με το άθροισμα των τοπικών σφαλμάτων. Το καθολικό σφάλμα συνήθως θα είναι μεγαλύτερο από το άθροισμα των τοπικών σφαλμάτων αν η εξίσωση είναι ασταθής αλλά μπορεί να είναι μικρότερο από το άθροισμα αν η εξίσωση είναι σταθερή, όπως φαίνεται στα Σχήματα 9.6 και 9.7, όπου τα τοπικά σφάλματα σημειώνονται με μικρές κατακόρυφες γραμμές στο τέλος. Προφανώς αυτό που θέλουμε είναι να έχουμε ένα μικρό καθολικό σφάλμα, αλλά μπορούμε να ελέγχουμε μόνο το τοπικό σφάλμα ευθέως.

Η ακρίβεια μίας αριθμητικής μεθόδου λέμε ότι είναι τάξεως 603#603 αν

1451#1451

Το κίνητρο γι' αυτό τον ορισμό, μίας τάξης μικρότερης από τον εκθέτη του μεγέθους βήματος στο τοπικό σφάλμα, είναι ότι αν το τοπικό σφάλμα είναι τάξεως 1452#1452, τότε το άθροισμα των τοπικών σφαλμάτων από το 1416#1416 ως το 1421#1421 θα είναι

1453#1453

όπου 63#63 είναι το μέσο μέγεθος βήματος, και αυτό δίνει μία πρόχειρη προσέγγιση για το καθολικό σφάλμα 1449#1449. ΣΧΗΜΑ 9.6 Τοπικά και καθολικά σφάλματα στη μέθοδο 18#18 για την 1443#1443. ΣΧΗΜΑ 9.7 Τοπικά και καθολικά σφάλματα στη μέθοδο 18#18 για την 1444#1444.


27#27

Παράδειγμα 9.8   ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ 1426#1426. Θεωρείστε τη σειρά 210#210

1454#1454

Αν πάρουμε 1455#1455 και 1456#1456, παίρνουμε

1457#1457

Αν τώρα αφαιρέσουμε αυτό από τη μέθοδο 18#18 παίρνουμε

1458#1458

Η διαφορά στο αριστερό μέλος της προηγούμενης συνάρτησης είναι το καθολικό σφάλμα 1459#1459. Αν δεν υπήρχαν προηγούμενα σφάλματα, τότε θα είχαμε 1460#1460, και οι δύο πρώτες διαφορές στο δεξί μέλος θα ήταν μηδέν, αφήνοντας μόνο τον όρο 1461#1461, που είναι το τοπικό σφάλμα αποκοπής. Αυτό το αποτέλεσμα σημαίνει ότι η μέθοδος 18#18 είναι πρώτου βαθμού ακρίβειας.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24