next up previous contents
Next: Έλεγχος του Μεγέθους Βήματος Up: ΑΚΡΙΒΕΙΑ ΚΑΙ ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ Previous: Βαθμός Ακρίβειας   Contents

Σταθερότητα μίας Αριθμητικής Μεθόδου

Η αρχή της σταθερότητας για αριθμητικές λύσεις των 1407#1407 είναι ανάλογη, αλλά ξεχωριστή, από τη αρχή της σταθερότητας για την ίδια την 1395#1395. Θυμηθείτε ότι μία 1395#1395 είναι σταθερή αν οι καμπύλες της λύσης της δεν αποκλίνουν η μία από την άλλη με την πάροδο του χρόνου. Ανάλογα, μία αριθμητική μέθοδος λέμε ότι είναι σταθερή αν μικρές διαταραχές δεν προκαλούν απόκλιση μεταξύ των αριθμητικών λύσεων χωρίς φράγμα (θυμηθείτε τη γενική ιδέα της σταθερότητας στην Ενότητα 1.2.7). Τέτοια απόκλιση αριθμητικών λύσεων θα μπορούσε να οφείλεται σε αστάθεια της επίλυσης της 1395#1395, αλλά θα μπορούσε επίσης να οφείλεται στην ίδια την αριθμητική μέθοδο, ακόμα και όταν η επίλυση της 1395#1395 είναι σταθερή.


27#27

Παράδειγμα 9.9   ΣΤΑΘΕΡΟΤΗΤΑ ΤΗΣ ΜΕΘΟΔΟΥ 1462#1462. Από την παραγωγή του Παραδείγματος 9.8 βλέπουμε ότι το καθολικό σφάλμα είναι το άθροισμα του τοπικού σφάλματος και αυτού που θα μπορούσε να ονομαστεί σφάλμα πολλαπλασιασμού. Για να χαρακτηρίσετε το τελευταίο, σημειώστε ότι από το Θεώρημα Μέσης Τιμής μπορούμε να γράψουμε

1463#1463

για κάποια (γνωστή) τιμή ξ, έτσι ώστε να μπορούμε να εκφράσουμε το καθολικό σφάλμα του βήματος 1464#1464 ως

1465#1465

Άρα, το καθολικό σφάλμα πολλαπλασιάζεται σε κάθε βήμα με τον παράγοντα 1466#1466, ο οποίος λέγεται και ενισχυτικός παράγοντας και παράγοντας αύξησης. Αν 1467#1467, τότε τα σφάλματα δεν αυξάνονται, και η μέθοδος είναι σταθερή. Αυτή η συνθήκη είναι ισοδύναμη με το να απαιτούμε το 1468#1468 να βρίσκεται στο διάστημα (-2,0). Αν δε βρισκόμαστε σε αυτή την περίπτωση, τότε τα σφάλματα αυξάνονται και η μέθοδος είναι ασταθής. Σημειώστε ότι τέτοια αστάθεια θα μπορούσε να οφείλεται σε αστάθεια της 1395#1395 (δηλ., 1469#1469), αλλά θα μπορούσε να συμβεί και για μία σταθερή εξίσωση 1470#1470 αν 1471#1471. Θα δούμε ένα χαρακτηριστικό παράδειγμα μίας τέτοιας αριθμητικής αστάθειας για μία σταθερή εξίσωση στο Παράδειγμα 9.11.

Για ένα σύστημα εξισώσεων, ο ενισχυτικός παράγοντας της μεθόδου 18#18 είναι ο πίνακας 1472#1472, και η συνθήκη σταθερότητας της μεθόδου είναι η 1473#1473, η οποία ικανοποιείται αν οι ιδιοτιμές του 1468#1468 βρίσκονται μέσα σε έναν κύκλο σε ένα σύνθετο επίπεδο ακτίνας 1 με το κέντρο στο -1 [παρατηρείστε ότι αυτό περιλαμβάνει το διάστημα (-2,0) της περίπτωσης που έχουμε μία εξίσωση]. Γενικά, ο ενισχυτικός παράγοντας εξαρτάται από τη συγκεκριμένη 1395#1395 που λύνουμε (η οποία καθορίζει τον Ιακωβιανό 1396#1396), από τη συγκεκριμένη μέθοδο που χρησιμοποιείται (η οποία καθορίζει τη μορφή του ενισχυτικού παράγοντα), και το μέγεθος του βήματος 63#63.


27#27

Μία εναλλακτική προσέγγιση στον καθορισμό της ακρίβειας και της σταθερότητας μίας αριθμητικής μεθόδου είναι να εφαρμόσουμε τη μέθοδο στη γραμμική 1474#1474 με αρχική συνθήκη την 1475#1475, της οποίας η ακριβής λύση δίνεται από την 1476#1476. Αυτό θα μας επιτρέψει να καθορίσουμε τη σταθερότητα χαρακτηρίζοντας τον παράγοντα αύξησης της αριθμητικής λύσης.

Για παράδειγμα, εφαρμόζοντας τη μέθοδο 18#18 σε αυτή την εξίσωση χρησιμοποιώντας ένα σταθερό μέγεθος βήματος 63#63, έχουμε

1477#1477

που σημαίνει ότι

1478#1478

Δεδομένου ότι 1479#1479, η ακριβής λύση πέφτει προς το μηδέν όπως αυξάνεται το 49#49, όπως θα κάνει και η υπολογισμένη λύση αν 1480#1480. Αυτό το αποτέλεσμα συμφωνεί με την προηγούμενή μας ανάλυση της σταθερότητας επειδή 1481#1481 για αυτή την 1395#1395. Ακόμα σημειώνουμε ότι ο παράγοντας αύξησης 1482#1482 συμφωνεί με την επέκταση της σειράς

1483#1483

μέσω των όρων πρώτου βαθμού του 63#63, και άρα η μέθοδος 18#18 είναι πρώτου βαθμού ακριβής. Ειδικά για πιο πολύπλοκες αριθμητικές μεθόδους, είναι ευκολότερο να εργαστεί κανείς με μία γραμμική 1395#1395 από ότι με μία γενική 1395#1395, και παράγει ουσιαστικά το ίδιο αποτέλεσμα σταθερότητας αν εξισώσουμε το λ με τον Ιακωβιανό 1396#1396 σε ένα δοσμένο σημείο. Παρόλα αυτά, μία σημαντική προειδοποίηση είναι ότι το λ είναι σταθερό, ενώ ο Ιακωβιανός 1396#1396 διαφέρει για μία μη γραμμική εξίσωση, και άρα η σταθερότητα ενδεχομένως να αλλάξει.



Manolis Vavalis 2000-03-24