next up previous contents
Next: STIFF ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ Up: Προβλήματα Αρχικών Τιμών Συνήθων Previous: Έλεγχος του Μεγέθους Βήματος   Contents

AΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ

Η μέθοδος 18#18 είναι μία έμμεση μέθοδος με την έννοια ότι χρησιμοποιεί μόνο τις πληροφορίες της χρονικής στιγμής 1421#1421 για να προάγει τη λύση στη χρονική στιγμή 1488#1488. Αυτό μπορεί να φαίνεται να είναι πλεονέκτημα, αλλά είδαμε ότι η μέθοδος 18#18 έχει ένα μάλλον περιορισμένο διάστημα σταθερότητας της τάξεως του (-2,0). Μπορούμε να πάρουμε μία μεγαλύτερη περιοχή σταθερότητας χρησιμοποιώντας πληροφορίες της χρονικής στιγμής 1488#1488, γεγονός που κάνει τη μέθοδο άμεση. Το απλούστερο παράδειγμα είναι η προς τα πίσω μέθοδος 18#18,

1489#1489

Αυτή η μέθοδος είναι άμεση επειδή πρέπει να υπολογίσουμε την 51#51 με όρισμα το 1424#1424 πριν μπορέσουμε να μάθουμε την τιμή της. Αυτός ο ισχυρισμός σημαίνει ότι πρέπει να καθοριστεί μία τιμή για την 1424#1424 που ικανοποιεί την προηγούμενη εξίσωση, και αν η 51#51 είναι μία μη γραμμική συνάρτηση του 170#170, όπως είναι συνήθως η κατάσταση που θα συναντήσουμε, τότε πρέπει να χρησιμοποιηθεί μία επαναληπτική μέθοδος εύρεσης λύσης, όπως η επανάληψη των σταθερών σημείων ή η μέθοδος 14#14. Μία καλή αρχική υπόθεση για την επανάληψη μπορούμε να την πάρουμε από μία μέθοδο έμμεσης ενσωμάτωσης, όπως η μέθοδος 18#18, ή από τη λύση του βήματος της προηγούμενης στιγμής.


27#27

Παράδειγμα 9.10   ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΙΣΩ ΜΕΘΟΔΟΣ 1426#1426. Θεωρείστε τη μη γραμμική 1395#1395

1490#1490

με αρχική κατάσταση την 1491#1491. Χρησιμοποιώντας την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 με μέγεθος βήματος το 1432#1432, παίρνουμε την εξίσωση

1492#1492

για την τιμή της λύσης στο επόμενο βήμα. Αυτή η μη γραμμική εξίσωση για το 898#898 έχει ήδη αρχίσει να χρησιμοποιείται για να δίνει λύση μέσο της επανάληψης σταθερών σημείων, αντικαθιστώντας επανειλημμένα διαδοχικές τιμές του 898#898 στο δεξί μέλος, ή θα μπορούσαμε ακόμα να χρησιμοποιήσουμε κάθε άλλη μέθοδο από το Κεφάλαιο 5, όπως η μέθοδος 14#14. Σε κάθε περίπτωση, χρειαζόμαστε μία αρχική υπόθεση για το 898#898, για την οποία θα μπορούσαμε απλά να χρησιμοποιήσουμε την προηγούμενη τιμή της λύσης, 1493#1493, ή θα μπορούσαμε να χρησιμοποιήσουμε μία έμμεση μέθοδο για να παράγουμε μία αρχική υπόθεση για την άμεση μέθοδο. Για παράδειγμα, χρησιμοποιώντας τη μέθοδο 18#18, θα μπορούσαμε να πάρουμε 1494#1494 ως μία αρχική υπόθεση για την επαναληπτική λύση της άμεσης εξίσωσης. Ευτυχώς οι επαναλήψεις συγκλίνουν στην τελική τιμή 1495#1495.


27#27

Δοσμένου ενός ακόμα προβλήματος και ενός υπολογισμού κατά τη χρήση μίας άμεσης μεθόδου, θα μπορούσε κανείς να αναρωτιέται ποιος ο λόγος να ενοχληθούμε. Η απάντηση είναι ότι οι άμεσες μέθοδοι γενικά έχουν μία σημαντικά μεγαλύτερη περιοχή σταθερότητας από τις ισοδύναμες έμμεσες μεθόδους. Για να καθορίσουμε τη σταθερότητα της προς τα πίσω μεθόδου 18#18, την εφαρμόζουμε στη γραμμική 1474#1474, παίρνοντας

1496#1496

ή

1497#1497

έτσι ώστε

1498#1498

Άρα, για να μιμηθούμε την εκθετική μείωση της ακριβούς λύσης όταν λ<0, πρέπει να έχουμε 1499#1499. Επιπλέον, ο παράγοντας αύξησης

1500#1500

συμφωνεί με την επέκταση του 1501#1501 μέσο τμημάτων της τάξεως του 63#63, έτσι ώστε η προς τα πίσω μέθοδος 18#18 να είναι πρώτου βαθμού ακρίβειας.

Γενικότερα, ο ενισχυτικός παράγοντας για την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 για μία βαθμωτή εξίσωση είναι 1502#1502, ο οποίος έχει μέγεθος μικρότερο του 1 για κάθε θετικό 63#63 δεδομένου ότι 1503#1503. Άρα, το διάστημα της σταθερότητας για την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 είναι το 1504#1504, ή ολόκληρο το αριστερό μισό του μιγαδικού επιπέδου στην περίπτωση που έχουμε σύστημα εξισώσεων, και άρα για μία σταθερή εξίσωση η μέθοδος είναι σταθερή για κάθε θετικό μέγεθος βήματος. Μία τέτοια μέθοδος λέγεται σταθερή ανεξαρτήτου κατάστασης (άλλοι όροι που χρησιμοποιούνται μερικές φορές για αυτή την αρχή είναι απόλυτα σταθερή, 369#369-σταθερή, ή 1505#1505-σταθερή). Το μεγάλο πλεονέκτημα μίας σταθερής ανεξαρτήτου κατάστασης μεθόδου είναι ότι η τοπική ακρίβεια που θέλουμε θέτει τον μοναδικό μας περιορισμό στην επιλογή του μεγέθους του βήματος. Άρα, μπορεί να έχουμε τη δυνατότητα να κάνουμε πολύ μεγαλύτερα βήματα από ότι θα κάναμε για μία έμμεση μέθοδο ισοδύναμης τάξεως και να πετύχουμε πολύ περισσότερη αποδοτικότητα συνολικά παρόλο που απαιτούνται περισσότεροι υπολογισμοί στο κάθε βήμα.

Παρόλο που η προς τα πίσω μέθοδος 18#18 είναι σταθερή ανεξαρτήτου κατάστασης, η πρώτου βαθμού ακρίβειά της περιορίζει αυστηρά τη χρησιμότητά της. Μπορούμε να πάρουμε μία μέθοδο ακρίβειας μεγαλύτερου βαθμού συνδιάζοντας τη μέθοδο 18#18 και την προς τα πίσω μέθοδο 18#18. Πιο συγκεκριμένα, παίρνοντας τον μέσο όρο αυτών των δύο μεθόδων μας δίνει τον άμεσο κανόνα του τραπεζίου

1506#1506

Για να καθορίσουμε τη σταθερότητα και την ακρίβεια αυτής της μεθόδου, την εφαρμόζουμε στην γραμμική 1474#1474 , για να πάρουμε

1507#1507

που σημαίνει ότι

1508#1508

¶ρα, η μέθοδος είναι σταθερή αν 1509#1509, που είναι αληθές για κάθε θετική τιμή του 63#63 υπό τον όρο ότι λ < 0. Επιπρόσθετα, ο παράγοντας αύξησης

1510#1510

είναι σύμφωνος με την επέκταση 1501#1501 μέσω τμημάτων της τάξεως του 1222#1222, και άρα η μέθοδος του τραπεζίου είναι δευτέρου βαθμού ακρίβειας.

Πιο γενικά, ο κανόνας του τραπεζίου είναι ενισχυμένος με τον παράγοντα 1511#1511, ο οποίος έχει μέγεθος μικρότερο της μονάδας, για κάθε θετικό μέγεθος βήματος υπό τον όρο ότι 1503#1503. Οι περιοχές σταθερότητας που προκύπτουν είναι το διάστημα 1512#1512 για μία βαθμωτή εξίσωση και ολόκληρο το αριστερό μισό του μιγαδικού επιπέδου για ένα σύστημα εξισώσεων. Άρα, ο κανόνας του τραπεζίου είναι σταθερός ανεξαρτήτου κατάστασης, ενώ επίσης είναι και δευτέρου βαθμού ακρίβειας. Προκύπτει ότι αυτή είναι η μεγαλύτερου βαθμού ακρίβεια που μπορεί να υπάρξει για μία μέθοδο σταθερή ανεξαρτήτου κατάστασης.

Τώρα έχουμε δει δύο παραδείγματα άμεσων μεθόδων που είναι σταθερές ανεξαρτήτου καταστάσεως, αλλά δεν έχουν όλες οι άμεσες μέθοδοι αυτή την ιδιότητα. Οι άμεσες μέθοδοι γενικά έχουν μεγαλύτερες περιοχές σταθερότητας από τις έμμεσες μεθόδους, αλλά το επιτρεπόμενο μέγεθος βήματος δεν είναι πάντα απεριόριστο. Η ιδιότητα της συνεπαγωγής δεν είναι αρκετή για να εγγυηθεί σταθερότητα, και η σταθερότητα δεν είναι αρκετή για να εγγυηθεί ακρίβεια.



Manolis Vavalis 2000-03-24