next up previous contents
Next: ΕΞΕΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ Up: Προβλήματα Αρχικών Τιμών Συνήθων Previous: AΜΕΣΕΣ ΜΕΘΟΔΟΙ   Contents

STIFF ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Οι καμπύλες των λύσεων για μία σταθερή εξίσωση συγκλίνουν με την πάροδο του χρόνου. Αυτή η σύγκλιση έχει την ευνοϊκή ιδιότητα της απόσβεσης των σφαλμάτων σε μία αριθμητική λύση, αλλά αν αυτή είναι πάρα πολύ γρήγορη, όπως φαίνεται στο Σχήμα 9.8, τότε μπορεί να προκύψουν δυσκολίες διαφορετικής φύσης. Μία τέτοια εξίσωση λέγεται stiff.

Τυπικά, ένα σταθερό σύστημα από 1407#1407 είναι stiff αν οι ιδιοτιμές του Ιακωβιανού του πίνακα 1396#1396 έχουν πολύ διαφορετικά μεγέθη. Μπορεί να υπάρχει μία ιδιοτιμή με μεγάλο αρνητικό πραγματικό τμήμα (που αντιστοιχεί σε μία συνιστώσα της λύσης που έχει υποστεί έντονη απόσβεση) ή με μεγάλο φανταστικό τμήμα (που αντιστοιχεί σε μία συνιστώσα της λύσης που ταλαντώνεται γρήγορα). Μία τέτοια διαφορική εξίσωση αντιστοιχεί σε μία φυσική διαδικασία της οποίας οι συνιστώσες έχουν ανόμοιες κλίμακες χρόνου ή σε μία διαδικασία της οποίας η κλίμακα χρόνου είναι μικρή σε σύγκριση με το διάστημα στο οποίο μελετάται.

Κάποιες αριθμητικές μέθοδοι είναι εντελώς αναποτελεσματικές για stiff εξισώσεις επειδή η ραγδαία μεταβαλλόμενη συνιστώσα της λύσης μας αναγκάζει να χρησιμοποιούμε πολύ μικρού μεγέθους βήματα για να διατηρήσουμε τη σταθερότητα. Αφού ο περιορισμός στη σταθερότητα εξαρτάται από τη ραγδαία μεταβαλλόμενη συνιστώσα της λύσης, ενώ ο περιορισμός στην ακρίβεια εξαρτάται στην αργά μεταβαλλόμενη συνιστώσα, το μέγεθος του βήματος μπορεί να περιορίζεται πολύ πιο αυστηρά από τη σταθερότητα από ότι από την απαιτούμενη ακρίβεια. Για παράδειγμα, η μέθοδος 18#18 με ένα σταθερό μέγεθος βήματος δεν είναι σταθερή για την επίλυση μίας stiff εξίσωσης, ενώ η άμεση προς τα πίσω μέθοδος 18#18 είναι σταθερή για stiff προβλήματα. Οι stiff 1407#1407 πρέπει να μην είναι δύσκολες κατά την αριθμητική τους επίλυση, υπό τον όρο ότι έχουμε επιλέξει μία κατάλληλη μέθοδο.


27#27

Παράδειγμα 9.11   STIFF 1395#1395. Για να δείξουμε την αριθμητική λύση μίας stiff 1395#1395, θεωρείστε την εξίσωση

1513#1513

ΣΧΗΜΑ 9.8 Η οικογένεια των καμπυλών των λύσεων για μία τυπική stiff 1395#1395.

με αρχική κατάσταση την 1491#1491. Η γενική λύση αυτής της 1395#1395 είναι 1514#1514, και η συγκεκριμένη λύση που ικανοποιεί την αρχική σύνθήκη είναι η 1515#1515. Αφού η λύση είναι γραμμική, η μέθοδος 18#18 θεωρητικά είναι ακριβής για αυτό το πρόβλημα. Παρόλα αυτά, για να δείξουμε τα αποτελέσματα της αποκοπής ή της στρογγυλοποίησης σφαλμάτων, ας διαταράξουμε ελαφρώς την αρχική τιμή. Με ένα μέγεθος βήματος 1516#1516, τα πρώτα λίγα βήματα για τις δοσμένες αρχικές τιμές είναι:


1144#1144

Η λύση που υπολογίζουμε είναι πάρα πολύ ευαίσθητη στην αρχική τιμή, αφού και η παραμικρή διαταραχή καταλήγει σε μία πολύ διαφορετική λύση. Μία εξήγηση αυτής της συμπεριφοράς φαίνεται στο Σχήμα 9.9. Κάθε σημείο που αποκλίνει από τη συγκεκριμένη επιθυμητή λύση, ακόμα και κατά λίγο, βρίσκεται σε διαφορετική καμπύλη λύσης, για την οποία είναι 1517#1517, και άρα η γενική λύση μεταβάλλεται ραγδαία. Η μέθοδος 18#18 βασίζει την υλοποίησή της στην παράγωγο του τρέχοντος σημείου, και η μεγάλη τιμή που προκύπτει προκαλεί μεγάλη απόκλιση της αριθμητικής λύσης από την επιθυμητή λύση. Αυτή η συμπεριφορά δεν θα έπρεπε να μας εκπλήσσει. Ο Ιακωβιανός για αυτή την εξίσωση είναι 1518#1518, οπότε η συνθήκη σταθερότητας για τη μέθοδο 18#18 απαιτεί ένα μέγεθος βήματος 1519#1519, το οποίο εμείς παραβιάζουμε.

Αντίθετα, η προς τα πίσω μέθοδος 18#18 δε συναντάει δυσκολία στο να λύσει αυτό το πρόβλημα. Στην ουσία, η λύση με την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 δεν είναι καθόλου ευαίσθητη στην αρχική τιμή, όπως φαίνεται στον επόμενο πίνακα, και παρουσιάζεται στο Σχήμα 9.10. Ακόμα και με μία πολύ μεγάλη διαταραχή στην αρχική τιμή, χρησιμοποιώντας την παράγωγο στο επόμενο σημείο αντί για το τρέχον σημείο, η μεταβολή εξισορροπείται γρήγορα και η λύση που προκύπτει από την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 συγκλίνει στην επιθυμητή καμπύλη λύσεων μετά από μερικά μόνο βήματα. Αυτή η συμπεριφορά συμφωνεί με την ανεξαρτήτου καταστάσεως σταθερότητα της προς τα πίσω μεθόδου 18#18 για μία σταθερή εξίσωση.


27#27

ΣΧΗΜΑ 9.9 Μη σταθερή λύση για μία stiff 1395#1395 χρησιμοποιώντας τη μέθοδο 18#18.

ΣΧΗΜΑ 9.10 Σταθερή λύση για μία stiff 1520#1520 χρησιμοποιώντας την προς τα πίσω μέθοδο 18#18.



Manolis Vavalis 2000-03-24