next up previous contents
Next: Οι Μέθοδοι Up: ΕΞΕΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ Previous: ΕΞΕΤΑΣΗ ΑΡΙΘΜΗΤΙΚΩΝ ΜΕΘΟΔΩΝ ΓΙΑ   Contents

Η Μέθοδος Σειρών Taylor

Έχουμε ήδη δει ότι η μέθοδος 18#18 μπορεί να εξαχθεί από μία επέκταση σειράς 210#210. Με το να διατηρούμε πιο πολλούς όρους στη σειρά 210#210, μπορούμε να παράγουμε μεθόδους ενός βήματος μεγαλύτερου βαθμού. Για παράδειγμα, διατηρώντας έναν επιπλέον όρο στη σειρά 210#210

1521#1521

μας δίνει τη μέθοδο δευτέρου βαθμού

1522#1522

Παρόλα αυτά, παρατηρείστε ότι αυτή η προσέγγιση απαιτεί τον υπολογισμό υψηλότερων παραγώγων του 170#170. Αυτές μπορούμε να τις πάρουμε διαφορίζοντας την 1367#1367 χρησιμοποιώντας τον κανόνα αλυσίδας, δηλ.,

1523#1523

όπου οι δείκτες υποδηλώνουν μερικές παραγώγους ως προς τη δοσμένη μεταβλητή. Όσο αυξάνει ο βαθμός, τέτοιες εκφράσεις για τις παραγώγους σύντομα γίνονται πολύ πολύπλοκες, τόσο ώστε να μην είναι πρακτικό να υπολογιστούν, οπότε οι μέθοδοι των σειρών 210#210 υψηλού βαθμού δε χρησιμοποιούνται συχνά στην πράξη. Παρόλα αυτά, πρόσφατα η διαθεσιμότητα των συστημάτων συμβολικών χειρισμών και αυτόματων διαφορίσεων έχει κάνει αυτές τις μεθόδους πιο εφικτές.


27#27

Παράδειγμα 9.12   ΜΕΘΟΔΟΣ ΣΕΙΡΑΣ 1524#1524. Για να παρουσιάσουμε τη μέθοδο σειράς 210#210 δευτέρου βαθμού, τη χρησιμοποιούμε για να λύσουμε την 1395#1395

1525#1525

με αρχική τιμή 1491#1491. Διαφορίζουμε την 51#51 για να πάρουμε για αυτό το πρόβλημα

1526#1526

Κάνοντας ένα βήμα από το 1527#1527 στο 1528#1528 χρησιμοποιώντας μέγεθος βήματος 1529#1529, παίρνουμε

1530#1530

Συνεχίζοντας με ένα ακόμα βήμα από το 1528#1528 στο 1531#1531 παίρνουμε

1532#1532

Για συγκριτικούς λόγους, η ακριβής λύση για αυτό το πρόβλημα είναι 1533#1533, και άρα η πραγματική λύση στα άκρα του διαστήματος είναι 1534#1534 και 1535#1535.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24