next up previous contents
Next: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Up: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Συνήθων Previous: Προβλήματα Συνοριακών Τιμών Συνήθων   Contents

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΣΥΝΟΡΙΑΚΩΝ ΤΙΜΩΝ

Μέχρι τώρα είχαμε ασχοληθεί μόνο με προβλήματα αρχικών τιμών συνήθων διαφορικών εξισώσεων. Τώρα θα επεκταθούμε θεωρόντας και προβλήματα συνοριακών τιμών. Ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών διαφορικών εξισώσεων ορίζει την τιμή της λύσης η παραγώγων της σε περισσότερα απο ένα σημεία. Για παράδειγμα, ένα συνοριακό πρόβλημα δύο σημείων μιας ΣΔΕ δεύτερης τάξης έχει την μορφή


1546#1546

με συνοριακές συνθήκες


1547#1547

Ένα πρόβλημα αρχικών τιμών για μια τέτοια δεύτερης τάξης εξίσωση θα έπρεπε να ορίζει και την τιμή της 170#170 και της 1548#1548 σε ένα μόνο σημείο, ας πούμε στο 1370#1370. Τα αρχικά αυτά δεδομένα δίνουν όλη την απαραίτητη πληροφορία για να ξεκινήσει μια αριθμητική μέθοδος απο το 1370#1370 και να βαδίσει υπολογίζοντας την λύση σταδιακά στον χρόνο (η οτιδήποτε άλλο παριστά η ανεξάρτητη μεταβλητή 49#49).

Γενικότερα, για καθορισθεί μοναδικά η λύση πρέπει να ορισθούν τόσες συνθήκες όση και η τάξη μιάς ΣΔΕ, ή όσο είναι το πλήθος των εξισώσεων σε ένα σύστημα ΣΔΕ. Εάν όλες οι συνθήκες αυτές ορισθούν σε ένα μόνο σημείο τότε έχουμε ένα πρόβλημα αρχικών τιμών, ειδάλως έχουμε ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών. Για παράδειγμα, ένα πρόβλημα συνοριακών τιμών ενός συστήματος δύο ΣΔΕ πρώτης τάξης έχει την μορφή


Manolis Vavalis 2000-03-24