next up previous contents
Next: Κατηγορίες Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων Up: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Previous: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις   Contents

ΜΕΡΙΚΕΣ ΔΙΑΦΟΡΙΚΕΣ ΕΞΙΣΩΣΕΙΣ

Ας εξετάσουμε τώρα την περιπτωση των μερικών διαφορικών εξισώσεων (ΜΔΕ), για την αριθμητική επίλυση των οποίων μπορούμε να εφαρμόσουμε πολλες απο τις αριθμητικές τεχνικές που συναντήσαμε στις ΣΔΕ, τοσο για προβλήματα αρχικών τιμών όσο και για προβλήματα συνοριακών τιμών. Τα προβλήματα ΜΔΕ ειναι κατα τεκμήριο πολύ πιο περίπλοκα, κύρια επειδή υπάρχουν επιπρόσθετες ανεξάρτητες μεταβλητές, συνήθως μια ή περισσότερες διαστάσεις χώρου και πιθανόν και μια διάσταση χρόνου. Η αύξηση του πλήθους των διαστάσεων αυξάνει σημαντικά την υπολογιστική περιπλοκότητα του προβλήματος. Η Μαθηματική διατύπωση των προβλημάτων ΜΔΕ ειναι πιο περίπλοκη απο τα προβλήματα ΣΔΕ μια και μπορεί κανείς να έχει προβλήματα αρχικών τιμών, προβλήματα συνοριακών τιμών αλλα και συνδοιασμό τους. Επιπρόσθετα, η διαφορική εξίσωση και οι συνοριακες συνθήκες μπορεί να ορίζονται σε ενα περίπλοκο χωρίο.

Κατ' αρχήν θα ορίσουμε κάποια σημειογραφία. Για απλότητα, θα ασχοληθούμε μόνο με απλές ΜΔΕ (σε αντίθεση με τα συστήματα πολλαπλών ΜΔΕ) με μόνο δύο ανεξάρτητες μεταβλητές (είτε δύο μεταβλητές στο χώρο, τις οποίες δηλώνουμε με 33#33 και 170#170, είτε μία μεταβλητή στο χώρο και μία στο χρόνο, τις οποίες δηλώνουμε με 33#33 και 49#49). Σε ένα πιο γενικό περιβάλλον, θα μπορούσε να υπάρχει οποιοδήποτε πλήθος διαστάσεων και οποιοδήποτε πλήθος εξισώσεων σε ένα σύστημα ζευγαρωτών ΜΔΕ. Δηλώνουμε με 570#570 την άγνωστη συνάρτηση λύσης που πρόκειται να καθορίσουμε και τις μερικές της παραγώγους σε συνάρτηση με τις ανεξάρτητες μεταβλητές με τους κατάλληλους δείκτες: 1549#1549, κλπ.



Subsections

Manolis Vavalis 2000-03-24