next up previous contents
Next: Ημιδιακριτές Μέθοδοι Κατά Τη Up: Μερικές Διαφορικές Εξισώσεις Previous: Κατηγορίες Μερικών Διαφορικών Εξισώσεων   Contents

ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ ΧΡΟΝΟ

Οι ΜΔΕ που εξαρτώνται από το χρόνο συνήθως εμπλέκουν τόσο αρχικές όσο και συνοριακές τιμές. Για παράδειγμα, η περιοχή στην οποία θέλουμε να βρίσκεται η λύση, καθώς και οι αρχικές και συνοριακές συνθήκες που πρέπει να καθοριστούν, φαίνονται στο Σχήμα 11.1 για ένα πρόβλημα με μία διάσταση στο χώρο. Δύο από τα παραδείγματα των εξαρτώμενων από το χρόνο ΜΔΕ που συναντώνται συχνότερα είναι η θερμική εξίσωση, η οποία είναι παραβολική, και η κυματική εξίσωση, η οποία είναι υπερβολική.

Στη μία διάσταση στο χώρο, η θερμική εξίσωση έχει τη μορφή

1552#1552

με δοσμένες αρχική και συνοριακή συνθήκη


1553#1553

, και με τη 655#655 να είναι μία θετική σταθερά. Αυτά τα μοντέλα εξισώσεων, για παράδειγμα, η διάχυση θερμότητας σε μία ράβδο μήκους 107#107 της οποίας τα άκρα διατηρούνται σε θερμοκρασίες που δίνονται από τις συνοριακές συνθήκες και της οποίας η αρχική διανομή της θερμοκρασίας δίνεται από τη συνάρτηση 34#34.

ΣΧΗΜΑ 11.1 Ένα πρόβλημα αρχικής-συνοριακής τιμής για μία ΜΔΕ που εξαρτάται από το χρόνο στη μία διάσταση στο χώρο.

Η σταθερά 655#655, η οποία καθορίζει το βαθμό της διάχυσης, εξαρτάται από τις φυσικές ιδιότητες του υλικού, όπως η θερμική του αγωγιμότητα, η ειδική του θερμότητα, και η πυκνότητά του. Η λύση 570#570 αυτής της εξίσωσης δίνει την επακολουθούσα διανομή θερμοκρασίας ως συνάρτηση τόσο του χώρου όσο και του χρόνου.

Στη μία διάσταση στο χώρο, η κυματική εξίσωση έχει τη μορφή


1554#1554

με δοσμένες αρχικές συνθήκες


1555#1555

και συνοριακές συνθήκες

1556#1556

και με τη 655#655 να είναι μία θετική σταθερά. Αυτά τα μοντέλα εξισώσεων, για παράδειγμα, οι παλμοί μίας χορδής βιολιού μήκους 107#107 της οποίας η αρχική κατατομή και ταχύτητα δίνονται από τις συναρτήσεις 34#34 και 1557#1557, αντίστοιχα, και της οποίας τα άκρα 1558#1558 όπως δίνεται από τις συνοριακές συνθήκες. Εξαιτίας του ότι αυτή η εξίσωση είναι δευτέρας τάξεως στο χρόνο, απαιτεί αρχικές συνθήκες τόσο για τη συνάρτηση λύσης όσο και για την πρώτη της παράγωγο ως προς το χρόνο. Προκύπτει ότι η λύση αποτελείται από κύματα που διαδίδονται προς τα αριστερά ή προς τα δεξιά με ταχύτητα 1559#1559. Πιο γενικά, αυτή η εξίσωση περιγράφει πολλούς τύπους κίνησης κυμάτων, όπως η διάδοση των ηχητικών κυμάτων στον αέρα ή των υδάτινων κυμάτων στον ωκεανό.

Τόσο για τη θερμική εξίσωση όσο και για την κυματική εξίσωση, έχουμε δώσει μόνο την απλούστερη μορφή συνοριακών συνθηκών. Οι πιο πολύπλοκες συνοριακές συνθήκες μπορεί να εμπλέκουν παραγώγους της λύσης όπως επίσης και τις τιμές της, ή συνδυασμούς αυτών, ή μπορεί να απαιτούν η λύση να είναι, για παράδειγμα, περιοδική.

Προβλήματα με περισσότερες διαστάσεις στο χώρο επιφέρουν μεγαλύτερες υπολογιστικές ανάγκες, τόσο στη μνήμη αποθήκευσης όσο και στο χρόνο εκτέλεσης, αλλά δεν εισάγουν καμία σημαντική επιπρόσθετη θεμελιώδη δυσκολία, οπότε θα εστιάσουμε την προσοχή μας στα προβλήματα που εξαρτώνται από το χρόνο και που έχουν μία διάσταση στο χώρο. Θα συγκεντρωθούμε επίσης και σε σχετικά απλά μοντέλα προβλημάτων, όπως η θερμική και η κυματική εξίσωση, αντί να επιχειρήσουμε μία ευρύτερη πραγμάτευση των μερικών διαφορικών εξισώσεων γενικά. Ωστόσο, αυτά τα μοντέλα προβλημάτων παρουσιάζουν τα περισσότερα από τα σημαντικά θέματα κατά την αριθμητική επίλυση των ΜΔΕ.



Subsections

Manolis Vavalis 2000-03-24