next up previous contents
Next: Ημιδιακριτές Μέθοδοι Κατά Τη Up: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ Previous: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ   Contents

Ημιδιακριτές Μέθοδοι Κατά Τη Χρήση Πεπερασμένων Διαφορών

Ένας τρόπος για να λύσουμε μία ΜΔΕ που εξαρτάται από το χρόνο είναι να τη διακριτοποιήσουμε στο χώρο αλλά να αφήσουμε τη μεταβλητή του χρόνου συνεχή. Αυτή η προσέγγιση καταλήγει σε ένα σύστημα από 1407#1407, το οποίο μπορεί τότε να λυθεί με τις μεθόδους που συζητήθηκαν στο Κεφάλαιο 9. Για παράδειγμα, θεωρείστε τη θερμική εξίσωση


1560#1560

με αρχικές και συνοριακές συνθήκες


1561#1561

Αν αντικαταστήσουμε την παράγωγο 1562#1562 με την προσέγγιση της πεπερασμένης διαφοράς


1563#1563

όπου 1564#1564, τότε παίρνουμε ένα σύστημα από 1565#1565


1566#1566

όπου 1567#1567. Από τις συνοριακές συνθήκες, τα 1568#1568 και 1569#1569 είναι ταυτοτικά μηδέν, και από τις αρχικές συνθήκες, 1570#1570. Μπορούμε, επομένως, να χρησιμοποιήσουμε μία μέθοδο 1395#1395 για να λύσουμε το πρόβλημα αρχικής τιμής για αυτό το σύστημα. Αυτή η προσέγγιση λέγεται μέθοδος των γραμμών. Αν σκεφτούμε τη λύση 1571#1571 ως μία επιφάνεια πάνω από το επίπεδο χώρου-χρόνου, αυτή η μέθοδος υπολογίζει διατομές αυτής της επιφάνειας κατά μήκος μιας σειράς από γραμμές, καθεμία από τις οποίες είναι παράλληλη στον άξονα του χρόνου και αντιστοιχεί σε ένα από τα ξεχωριστά σημεία διαμέρισης του χώρου.

Το προηγούμενο ημιδιακριτό σύστημα μπορεί να γραφτεί σε μορφή πίνακα ως

1572#1572

Ο Ιακωβιανός πίνακας 369#369 αυτού του συστήματος έχει ιδιοτιμές μεταξύ του 1573#1573 και του 0, γεγονός που κάνει την 1574#1574 όλο και πιο stiff όσο το μέγεθος της διαμέρισης του χώρου 1575#1575 μικραίνει. Αυτή η ιδιότητα του να είναι 1576#1576, που είναι συνηθισμένη για 1407#1407 που παράγονται από ΔΜΕ με αυτό τον τρόπο, πρέπει να λαμβάνονται υπ' όψιν κατά την επιλογή μίας μεθόδου 1395#1395 για την επίλυση του ημιδιακριτού συστήματος (θυμηθείτε την Ενότητα 9.5).



Manolis Vavalis 2000-03-24