next up previous contents
Next: Άμεσες Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών Up: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ Previous: Ημιδιακριτές Μέθοδοι Κατά Τη   Contents

Μέθοδοι Πλήρους Διακριτοποίησης

Οι μέθοδοι πλήρους διακριτοποίησης για τις ΜΔΕ διακρίνουν τόσο στη διάσταση του χρόνου όσο και στη διάσταση του χώρου. Σε μία μέθοδο πλήρους διακριτοποίησης πεπερασμένων διαφορών, αντικαθιστούμε το συνεχές πεδίο ορισμού της εξίσωσης με μία διακριτή διαμέριση σημείων, αντικαθιστούμε τις παραγώγους της ΜΔΕ με προσεγγίσεις πεπερασμένων διαφορών, και ψάχνουμε μία αριθμητική λύση που είναι ένας πίνακας από προσεγγιστικές τιμές στα επιλεγμένα σημεία στο χώρο και στο χρόνο. Στις δύο διαστάσεις (μία στο χώρο και μία στο χρόνο), οι προσεγγιστικές τιμές της λύσης που προκύπτουν αναπαριστούν σημεία στην επιφάνεια της λύσης μέσα στο πεδίο ορισμού του προβλήματος στο επίπεδο χώρου-χρόνου. Η ακρίβεια της προσεγγιστικής λύσης εξαρτάται από τα μεγέθη του βήματος τόσο στο χώρο όσο και στο χρόνο.

Η αντικατάσταση όλων των μερικών παραγώγων με πεπερασμένες διαφορές καταλήγει σε ένα σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων για την άγνωστη λύση σε ένα διακριτό σύνολο δειγματικών σημείων. Αυτό το σύστημα μπορεί να είναι είτε γραμμικό είτε μη γραμμικό, ανάλογα με τη θεμελιώδη ΜΔΕ. Όταν έχουμε να κάνουμε με ένα πρόβλημα αρχικής τιμής, τη λύση την παίρνουμε ξεκινώντας με τις αρχικές τιμές κατά μήκος ενός ορίου του πεδίου ορισμού του προβλήματος και προχωρώντας προς τα μπροστά στο χρόνο βήμα προς βήμα, παράγοντας διαδοχικές γραμμές στον πίνακα της λύσης. Μία τέτοια διαδικασία βημάτων στο χρόνο μπορεί να είναι είτε έμμεση είτε άμεση, ανάλογα με το αν ο τύπος για τις τιμές της λύσης στο επόμενο βήμα στο χρόνο εμπλέκει μόνο προηγούμενες πληροφορίες.

Θα περιμέναμε να πάρουμε πολύ καλή ακρίβεια παίρνοντας αρκετά μικρά μεγέθη βήματος στο χρόνο και στο διάστημα. Παρόλα αυτά, δε μπορούμε να επιλέξουμε πάντα τα δύο μεγέθη βήματος ανεξάρτητα το ένα από το άλλο. Για να συγκλίνει η προσεγγιστική λύση στην πραγματική λύση της ΜΔΕ όσο τα μεγέθη του βήματος στο χρόνο και στο χώρο πάνε στο μηδέν, πρέπει να υπάρχουν δύο ιδιότητες:

Το Θεώρημα Ισοδυναμίας του 1586#1586 λέει ότι η συνοχή και η σταθερότητα είναι και αναγκαία και ικανά για τη σύγκλιση. Καμία από τις ιδιότητες από μόνη της δεν είναι ικανή να εγγυηθεί σύγκλιση.


27#27

Παράδειγμα 11.1   ΘΕΡΜΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. Ως παράδειγμα πλήρους διακριτοποίησης, θεωρείστε τη θερμική εξίσωση


1587#1587

με αρχική και συνοριακή συνθήκη


1588#1588

Ορίζουμε το 1589#1589 να δηλώνει την προσεγγιστική λύση για 1590#1590 και 1591#1591. Αν αντικαταστήσουμε το 1592#1592 με μία προς τα εμπρός διαφορά στο χρόνο και το 1562#1562 με μία κεντρική διαφορά στο χώρο, με 1593#1593, παίρνουμε το σχήμα


1594#1594

ή


1595#1595

Οι συνοριακές συνθήκες μας δίνουν 1596#1596 και 1597#1597 για όλα τα 432#432, και οι αρχικές συνθήκες παρέχουν τις αρχικές τιμές 1598#1598 για κάθε 573#573, οπότε μπορούμε να προωθήσουμε την αριθμητική λύση μπροστά στο χρόνο χρησιμοποιώντας το σχήμα των διαφορών. Στο Σχήμα 11.2α, το πρότυπο των σημείων διαμέρισης που εμπλέκεται σε αυτό το σχήμα σημειώνεται από τις γραμμές, με το βέλος να δείχνει το σημείο διαμέρισης στο οποίο υπολογίζεται η λύση. Ένα τέτοιο πρότυπο λέγεται stencil ενός δοσμένου σχήματος πεπερασμένης διαφοράς.

Το τοπικό σφάλμα αποκοπής αυτού του σχήματος είναι 1599#1599, οπότε λέμε ότι το σχήμα είναι πρώτου βαθμού ακρίβειας στο χρόνο και δευτέρου βαθμού ακρίβειας στο χώρο. Το τοπικό σφάλμα πάει στο μηδέν όσο τα 1600#1600 και 1575#1575 πάνε στο μηδέν, οπότε το σχήμα είναι συνεπές. Για να ερευνήσουμε τη σταθερότητά του, σημειώνουμε ότι αυτό το άμεσο σχήμα πλήρους διακριτοποίησης είναι απλώς η μέθοδος 18#18 αν εφαρμοστεί στο σύστημα των 1407#1407 που προκύπτει από την ημιδιακριτή μέθοδο πεπερασμένων διαφορών για τη θερμική εξίσωση που δόθηκε στην Ενότητα 11.2.1. Εκεί είδαμε ότι ο Ιακωβιανός πίνακας του ημιδιακριτού συστήματος έχει ιδιοτιμές μεταξύ των 1573#1573 και 0, και άρα η περιοχή σταθερότητας για τη μέθοδο 18#18 απαιτεί το βήμα του χρόνου να ικανοποιεί την


1601#1601

Ο περιορισμός στο βήμα του χρόνου είναι ιδιαίτερα αυστηρός και κάνει αυτή την έμμεση μέθοδο σχετικά αναποτελεσματική σε σύγκριση με τις άμεσες μεθόδους που θα δούμε σύντομα.


27#27

ΣΧΗΜΑ 11.2 Stencils μεθόδων πεπερασμένων διαφορών για προβλήματα που εξαρτώνται από το χρόνο.


27#27

Παράδειγμα 11.2   ΚΥΜΑΤΙΚΗ ΕΞΙΣΩΣΗ. Σαν μία περαιτέρω εξήγηση της προσέγγισης των πεπερασμένων διαφορών για την πλήρη διακριτοποίηση, θα θεωρήσουμε τώρα την κυματική εξίσωση

1602#1602

με αρχική και συνοριακή συνθήκη

1555#1555


1603#1603

Χρησιμοποιώντας τύπους κεντρικών διαφορών και για την 1604#1604 και για την 1562#1562 μας δίνει το σχήμα των πεπερασμένων διαφορών


1605#1605

ή


1606#1606

Το stencil για αυτό το σχήμα φαίνεται στο Σχήμα 11.2b. Σημειώνουμε ότι αυτό το σχήμα απαιτεί δεδομένα που βρίσκονται σε δύο επίπεδα του χρόνου, γεγονός που απαιτεί επιπλέον αποθηκευτικό χώρο και επίσης σημαίνει ότι χρειαζόμαστε και το 1607#1607 και το 1608#1608 για να ξεκινήσουμε. Αυτές τις τιμές μπορούμε να τις πάρουμε από τις αρχικές συνθήκες

1609#1609

όπου στη δεύτερη σχέση έχουμε χρησιμοποιήσει μία προσέγγιση με προς τα εμπρός διαφορές της αρχικής κατάστασης 1610#1610. Αυτό το σχήμα είναι δευτέρου βαθμού ακρίβειας και στο χώρο και στο χρόνο, και ο περιορισμός στη σταθερότητα του βήματος του χρόνου είναι


1611#1611

που είναι πολύ λιγότερο περιοριστικός από εκείνον του σχήματος που θεωρήσαμε για τη θερμική εξίσωση.


27#27


next up previous contents
Next: Άμεσες Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών Up: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ Previous: Ημιδιακριτές Μέθοδοι Κατά Τη   Contents
Manolis Vavalis 2000-03-24