next up previous contents
Next: Υπερβολικά Έναντι Παραβολικών Προβλημάτων Up: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ Previous: Μέθοδοι Πλήρους Διακριτοποίησης   Contents

Άμεσες Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών

Μέχρι τώρα, στα σχήματα πεπερασμένων διαφορών έχουμε θεωρήσει ότι οι τιμές της προσεγγιστικής λύσης στο επόμενο επίπεδο του χρόνου δίνονται από έμμεσους τύπους που εμπλέκουν τιμές λύσεων προηγούμενων μόνο επιπέδων. Για τις 1407#1407 είδαμε ότι οι άμεσες μέθοδοι είναι σταθερές για ένα πολύ μεγαλύτερο πεδίο μεγεθών βήματος, και το ίδιο ισχύει και για άμεσες μεθόδους για τις ΜΔΕ.

Η έμμεση μέθοδος που θεωρήσαμε για τη θερμική εξίσωση προκύπτει από την εφαρμογή της μεθόδου 18#18 στο ημιδιακριτό σύστημα των 1407#1407 της Ενότητας 11.2.1. Αν αντί αυτού εφαρμόσουμε την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 στο ημιδιακριτό σύστημα, παίρνουμε το άμεσο σχήμα πεπερασμένων διαφορών

1612#1612

του οποίου το stencil φαίνεται στο Σχήμα 1613#1613. Αυτό το σχήμα κληρονομεί την απεριόριστη σταθερότητα της προς τα πίσω μεθόδου 18#18, που σημαίνει ότι δεν υπάρχει περιορισμός σταθερότητας στα σχετικά μεγέθη 1600#1600 και 1575#1575. Παρόλα αυτά, η ακρίβεια είναι ακόμα κάτι που θα έπρεπε να σκεφτόμαστε, και το γεγονός ότι αυτή η συγκεκριμένη μέθοδος είναι μόνο πρώτου βαθμού ακρίβειας στο χρόνο εξακολουθεί να περιορίζει αυστηρά το μέγεθος του βήματος. Η απλούστερη απεριόριστα σταθερή άμεση μέθοδος για τη θερμική εξίσωση η οποία είναι δευτέρου βαθμού ακρίβειας στο χρόνο είναι η μέθοδος 1614#1614

1615#1615

που προκύπτει από την εφαρμογή του κανόνα του τραπεζίου στο ημιδιακριτό σύστημα των 1407#1407 (ή εναλλακτικά, συνυπολογίζοντας τις προηγούμενες έμμεσες και άμεσες μεθόδους). To stencil για το σχήμα 1614#1614 φαίνεται στο Σχήμα 1616#1616.

Η πολύ μεγαλύτερη σταθερότητα των άμεσων μεθόδων πεπερασμένων διαφορών τους επιτρέπει να κάνουν πολύ μεγαλύτερα βήματα στο χρόνο από αυτά που επιτρέπονται όταν χρησιμοποιούνται έμμεσες μέθοδοι, αλλά απαιτούν περισσότερη δουλειά ανά βήμα επειδή πρέπει να λύνουμε ένα σύστημα εξισώσεων σε κάθε βήμα προκειμένου να καθορίσουμε τις τιμές της λύσης στο επόμενο βήμα. Και για την προς τα πίσω μέθοδο 18#18 και για τη μέθοδο 1614#1614 για τη θερμική εξίσωση στη μία διάσταση του διαστήματος, το γραμμικό σύστημα που πρέπει να λύσουμε στο κάθε βήμα είναι τρισδιάστατο, και άρα τόσο η εργασία όσο και ο αποθηκευτικός χώρος που απαιτούνται είναι μετρίου μεγέθους. Σε υψηλότερες διαστάσεις ο πίνακας του γραμμικού συστήματος δεν έχει τόσο απλή μορφή, αλλά εξακολουθεί να είναι πολύ αραιός, με τα μη μηδενικά στοιχεία να έχουν μία πολύ ομαλή μορφή. Θα συζητήσουμε μεθόδους επίλυσης τέτοιων γραμμικών συστημάτων στις Ενότητες 11.4 και 11.5.

Προφανώς, είναι πιθανά πολλά ακόμα σχήματα πεπερασμένων διαφορών, ανάλογα με τη συγκεκριμένη ΜΔΕ που λύνουμε, με το βαθμό της ακρίβειας που αναζητούμε, κλπ. Τέτοια σχήματα προσαρμόζονται συνήθως στις απαιτήσεις του πελάτη για να εκμεταλλευτούν τα συγκεκριμένα χαρακτηριστικά ενός δοσμένου προβλήματος. Είναι σχετικά εύκολο να πάρουμε σχήματα πεπερασμένων διαφορών. Όμως, μπορεί να είναι πιο ενδιαφέρον να αναλύσουμε την ακρίβειά τους, τη σταθερότητά τους, και την αποδοτικότητά τους, και συνεπώς δεν θα πρέπει να χρησιμοποιούνται στα τυφλά.



Manolis Vavalis 2000-03-24