next up previous contents
Next: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ Up: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΑΝΕΞΑΡΤΗΤΑ ΑΠΟ ΤΟΝ Previous: Άμεσες Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών   Contents

Υπερβολικά Έναντι Παραβολικών Προβλημάτων

Μέχρι τώρα αντιμετωπίζαμε όλα τα προβλήματα που εξαρτώνται από το χρόνο με τον ίδιο τρόπο: απλώς αντικαθιστούσαμε τις μερικές παραγώγους με προσεγγίσεις πεπερασμένων διαφορών και στη συνέχεια μελετούσαμε την ακρίβεια και τη σταθερότητα του σχήματος στο οποίο καταλήγαμε για να προωθήσουμε την προσεγγιστική λύση ένα βήμα μπροστά στο χρόνο. Η λεπτομερής μελέτη της θεωρίας των μερικών διαφορικών εξισώσεων είναι πέρα από τους σκοπούς αυτού του βιβλίου, αλλά θα μελετήσουμε εν συντομία μία βασική θεωρητική διαφορά ανάμεσα στις υπερβολικές και στις παραβολικές ΜΔΕ η οποία έχει σημαντικές συνέπειες στις πρακτικές μεθόδους αριθμητικής επίλυσης.

Θεωρείστε την παρακάτω υπερβολική ΜΔΕ πρώτου βαθμού, γνωστή ως η κυματική εξίσωση μονής κατεύθυνσης ή εξίσωση κίνησης αέριας μάζας:

1617#1617

με αρχική συνθήκη

1618#1618

Είναι προφανές από τον κανόνα αλυσίδας ότι η λύση δίνεται από τον

1619#1619

Άρα, η αρχική συνάρτηση 1620#1620 είναι απλά πολλαπλασιασμένη από τα δεξιά (ή από τα αριστερά αν 1621#1621) με την ταχύτητα 655#655, όπως απεικονίζεται στο Σχήμα 11.3.

Σημειώστε ότι το 1620#1620 δε χρειάζεται να είναι ομαλό, ούτε καν συνεχές. Αυτή η συμπεριφορά είναι συνηθισμένη για τις υπερβολικές εξισώσεις: πολλαπλασιάζουν αμείωτα 1622#1622 ή 1623#1623 (ή οτιδήποτε άλλο, συμπεριλαμβανομένων των αριθμητικών σφαλμάτων) -γι' αυτό το λόγο, λέμε ότι είναι συντηρητικά. Μία τέτοια συμπεριφορά μπορεί ενδεχομένως να προκαλέσει δυσκολίες στις αριθμητικές μεθόδους οι οποίες βασίζονται σε ένα συγκεκριμένο βαθμό ομαλότητας. Συγκεκριμένα, τα σχήματα πεπερασμένων διαφορών που έχουν κάποιο κέντρο, αν και είναι επιθυμητά εξαιτίας του υψηλού βαθμού ακρίβειάς τους, συχνά προκαλούν ανεπιθύμητες ταλαντώσεις στην αριθμητική λύση μίας υπερβολικής εξίσωσης κοντά σε μία απότομη 1624#1624. Μία χρήσιμη εναλλακτική λύση αντί των μερικών παραγώγων σε τέτοιες περιπτώσεις είναι να χρησιμοποιούμε μονομερείς διαφορές των οποίων τα δειγματικά σημεία βρίσκονται από τη μεριά από την οποία έρχεται το 1624#1624. Τέτοιες προς τα πάνω διαφορές κάνουν την προσέγγιση να κλίνει προς το τρέχον 1624#1624, ελαττώνοντας την κλίση της ανεπιθύμητης ταλάντωσης. Η προς τα πάνω διαφορά είναι η απλούστερη ανάμεσα σε αρκετές προσεγγίσεις για τον χειρισμό απότομων 1625#1625 και ασυνεχειών. Φυσικά, αν η αρχική συνάρτηση είναι ικανοποιητικά ομαλή, μπορεί να μη χρειάζεται να λάβουμε τέτοια μέτρα.

ΣΧΗΜΑ 11.3 Μία λύση της μονομερούς κυματικής εξίσωσης.


27#27

Παράδειγμα 11.3   ΚΕΝΤΡΙΚΕΣ ΕΝΑΝΤΙ ΠΡΟΣ ΤΑ ΠΑΝΩ ΔΙΑΦΟΡΕΣ ΓΙΑ ΜΙΑ ΑΠΟΤΟΜΗ 1626#1626. Θεωρείστε τη μονόπλευρη κυματική εξίσωση

1627#1627

με την αρχική συνάρτηση 1620#1620 να είναι η συνάρτηση βήματος που ορίζεται από την

1628#1628

Η ασυνέχεια της 1620#1620, μία αναπήδηση στο 1629#1629, θα πολλαπλασιαστεί από τα δεξιά με το χρόνο. Από τη σκοπιά ενός συγκεκριμένου σημείου που βρίσκεται πάνω στον άξονα του χώρου, η λύση θα είναι 0 μέχρι να αντιπαρέλθουμε τη συνάρτηση του βήματος, οπότε μετά από αυτό η λύση θα είναι 1 (δηλ., για ένα σταθερό 33#33, η λύση θα είναι μία συνάρτηση βήματος στο 49#49). Θα πρέπει να περιμένουμε οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών να έχουν κάποιες δυσκολίες ακολουθώντας αυτό το απότομο 1624#1624.

Το Σχήμα 11.4 δείχνει τη λύση που υπολογίστηκε ως συνάρτηση του 49#49 στο σημείο 75#75 (δηλ., είναι ένα τμήμα της επιφάνειας της λύσης παράλληλο στον άξονα του 49#49 στο σημείο 75#75). Η λύση στα αριστερά υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας κεντρικές διαφορές στο χώρο της μορφής

1630#1630

ενώ η λύση στα δεξιά υπολογίστηκε χρησιμοποιώντας προς τα πάνω διαφορές στο χώρο της μορφής

1631#1631

Ο τύπος των κεντρικών διαφορών είναι δευτέρου βαθμού ακρίβειας και δίνει μία καλύτερη προσέγγιση της απότομης 1624#1624. Παρόλα αυτά, αποτυγχάνει και στη συνέχεια εκτελεί μία ταλάντωση που δεν υπάρχει στην πραγματική λύση, η οποία είναι η συνάρτηση του βήματος σχεδιασμένη στο ίδιο γράφημα για να μπορεί να γίνει η σύγκριση. Ο μονόπλευρος τύπος διαφορών είναι μόνο πρώτου βαθμού ακριβείας και επιτυγχάνει το απότομο 1624#1624 χειρότερα, αλλά είναι απαλλαγμένος από την ανεπιθύμητη ταλάντωση που παρουσιάστηκε από την κεντρική μέθοδο, και με αυτή την έννοια μπορεί σε πολλές περιπτώσεις να είναι καλύτερη λύση. Σημειώστε ότι η μονόπλευρη διαφορά χρησιμοποιεί ένα γειτονικό σημείο από τη μεριά από την οποία έρχεται το 1624#1624. Αν το 1624#1624 ερχόταν από την αντίθετη κατεύθυνση, θα χρησιμοποιούσαμε το γειτονικό σημείο από εκείνη τη μεριά (δηλ., 1632#1632).


27#27

ΣΧΗΜΑ 11.4 Προσεγγίσεις στη λύση της συνάρτησης βήματος της μονόπλευρης κυματικής εξίσωσης χρησιμοποιώντας κεντρικές (αριστερές) και προς τα πάνω (δεξιές) διαφορές.

Σε αξιοσημείωτη αντίθεση με τη συμπεριφορά που μόλις περιγράψαμε, οι παραβολικές εξισώσεις είναι 1633#1633. Η λύση τείνει προς μία σταθερή κατάσταση με την πάροδο του χρόνου, "ξεχνώντας" τελικά τις αρχικές συνθήκες. Κάθε έλλειψη ομαλότητας στις αρχικές συνθήκες, ακόμα και μία πιθανή ασυνέπεια στις αρχικές και στις συνοριακές συνθήκες, εξασθενίζει. Αυτή η συμπεριφορά κάνει τις παραβολικές εξισώσεις να "συγχωρούν" και να είναι σχετικά εύκολο να λυθούν αριθμητικά, αφού τα αριθμητικά σφάλματα τείνουν να ελαττώνονται με την πάροδο του χρόνου (υπό τον όρο ότι χρησιμοποιείται μία σταθερή μέθοδος). ’ρα, οι κεντρικές διαφορές τείνουν να λειτουργούν σωστά για τα παραβολικά προβλήματα, και είναι σχετικά εύκολο να πάρουμε λύσεις υψηλού βαθμού ακρίβειας.



Manolis Vavalis 2000-03-24