next up previous contents
Next: Μέθοδοι Πεπερασμένων Στοιχείων Up: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ Previous: ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ ΠΟΥ ΕΞΑΡΤΩΝΤΑΙ ΑΠΟ   Contents

Μέθοδοι Πεπερασμένων Διαφορών

Οι μέθοδοι πεπερασμένων διαφορών για τα ελλειπτικά προβλήματα συνοριακών τιμών προχωρούν όπως έχουμε δει και πιο πριν: ορίζουμε μία διακριτή διαμέριση σημείων μέσα στο πεδίο ορισμού της εξίσωσης, αντικαθιστούμε τις παραγώγους στη ΜΔΕ με πεπερασμένες διαφορές, και ψάχνουμε για μία αριθμητική λύση στην καθεμία από τις διαμερίσεις σημείων. Παρόλα αυτά, σε αντίθεση με τα προβλήματα που εξαρτώνται από το χρόνο, δεν παράγουμε τη λύση βαθμιαία προχωρώντας προς τα εμπρός στο χρόνο, αλλά αντί αυτού καθορίζουμε την προσεγγιστική λύση σε όλα τα σημεία διαμέρισης ταυτόχρονα λύνοντας ένα μόνο σύστημα αλγεβρικών εξισώσεων.


27#27

Παράδειγμα 11.4   Η ΕΞΙΣΩΣΗ 1643#1643. Παρουσιάζουμε τη διαδικασία με ένα απλό παράδειγμα. Θεωρείστε την εξίσωση 1637#1637 στην τετραγωνική μονάδα

1644#1644

με συνοριακές συνθήκες όπως αυτές φαίνονται στα αριστερά του Σχήματος 11.5. Ορίζουμε μία διακριτή διαμέριση στο πεδίο ορισμού, συμπεριλαμβανομένων και των άκρων, όπως αυτή φαίνεται στα δεξιά του Σχήματος 11.5.

ΣΧΗΜΑ 11.5 Συνοριακές συνθήκες (αριστερά) και διαμέριση (δεξιά) για το παράδειγμα της εξίσωσης 1637#1637.

Τα εσωτερικά σημεία του πλέγματος όπου θα υπολογίσουμε την προσεγγιστική λύση δίνονται από τη

1645#1645

όπου στο παράδειγμά μας 1351#1351 και 1646#1646. Στη συνέχεια αντικαθιστούμε τις δεύτερες παραγώγους στην εξίσωση με τη συνήθη προσέγγιση κεντρικών διαφορών στην κάθε εσωτερική διαμέριση στοιχείων για να πάρουμε την εξίσωση πεπερασμένων διαφορών


1647#1647

όπου το 1648#1648 είναι μία προσέγγιση στην πραγματική λύση 1649#1649 για 1650#1650, και αναπαριστά μία από τις δοσμένες συνοριακές τιμές αν το 824#824 ή το 573#573 είναι 0 ή 1282#1282. Απλοποιώντας και καθαρογράφοντας τις τέσσερις εξισώσεις που προέκυψαν, παίρνουμε

1651#1651

Γράφοντας αυτές τις τέσσερις εξισώσεις σε μορφή πίνακα, έχουμε


1652#1652

Αυτό το σύστημα των εξισώσεων μπορεί να λυθεί για τους άγνωστους 1648#1648 είτε μέσω μίας άμεσης μεθόδου που βασίζεται στην παραγοντοποίηση ή μέσω μίας εναλλακτικής μεθόδου, που παράγει τη λύση


1653#1653


27#27

Σε ένα πρακτικό πρόβλημα, το μέγεθος της διαμέρισης 63#63 θα ήταν πολύ μικρότερο και το γραμμικό σύστημα που προκύπτει θα ήταν πολύ μεγαλύτερο από ότι στο προηγούμενο παράδειγμα. Παρόλα αυτά, ο πίνακας θα ήταν πολύ αραιός, αφού και πάλι η κάθε εξίσωση θα ενέπλεκε το πολύ μόνο πέντε από τις μεταβλητές, και ως εκ τούτου θα εξοικονομούσε σημαντικά εργασία και αποθηκευτικό χώρο. Μπορούμε να γίνουμε λίγο πιο συγκεκριμένοι σχετικά με το μη μηδενικό πρότυπο του πίνακα ενός τέτοιου γραμμικού συστήματος. Έχουμε ήδη δει στην Ενότητα 10.4 πώς αυτός ο τύπος της μεθόδου πεπερασμένων διαφορών αν εφαρμοστεί σε ένα μονοδιάστατο πλέγμα παράγει ένα τρισδιαγώνιο σύστημα. Ένα ορθογώνιο δισδιάστατο πλέγμα μπορούμε να το σκεφτούμε ως ένα μονοδιάστατο πλέγμα από μονοδιάστατα πλέγματα. Άρα, με μία ταξινόμηση των σημείων του πλέγματος σε γραμμές ή σε στήλες, ο πίνακας που θα προκύψει θα είναι μπλοκ τριδιαγώνιος, με το κάθε μη μηδενικό μπλοκ να είναι τρισδιαγώνιο ή διαγώνιο. Ένα τέτοιο πρότυπο μόλις που διακρίνεται στον πίνακα του προηγούμενου παραδείγματος, όπου τα μπλοκς είναι μόνο 1654#1654. Για ένα λίγο μεγαλύτερο παράδειγμα, όπου το πρότυπο είναι πιο ευδιάκριτο, δείτε το Σχήμα 11.6. Αυτό το πρότυπο γενικεύεται σε ένα τρισδιάστατο πλέγμα, το οποίο μπορούμε να το δούμε ως ένα μονοδιάστατο πλέγμα από δισδιάστατα πλέγματα, οπότε ο πίνακας θα ήταν μπλοκ τριδιαγώνιος, με τα ίδια τα μη μηδενικά μπλοκς να είναι μπλοκ τριδιαγώνια, και τα επιμέρους μπλοκς τους να είναι τρισδιαγώνια. Φυσικά, για ένα λιγότερο συνηθισμένο πλέγμα ή διαμέριση, ή για ένα πιο πολύπλοκο 1655#1655 πεπερασμένων διαφορών, το πρότυπο δεν θα ήταν τόσο απλό, αλλά η αραιότητα θα επικρατούσε και πάλι εξαιτίας του ότι συνδέονται τοπικά μεταξύ τους τα σημεία του πλέγματος.



Manolis Vavalis 2000-03-24