next up previous contents
Next: Ιδιάζοντες και Μη-ιδιάζοντες Πίνακες Up: Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Previous: Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων   Contents

Γραμικά συστήματα

Συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων εμφανίζονται σχεδόν σε κάθε τομέα των εφαρμοσμένων μαθηματικών και των επιστημονικών υπολογισμών. Τέτοια συστήματα συχνά εμφανίζονται με φυσικό τρόπο, αλλά είναι πολλές φορές και το αποτέλεσμα της προσέγγισης μη γραμμικών εξισώσεων από γραμμικές ή διαφορικών εξισώσεων από αλγεβρικές. Στο παρόν βιβλίο θα δούμε πολλά παραδείγματα τέτοιων προσεγγίσεων. Για τους λόγους αυτούς η αποτελεσματική και ακριβής λύση των γραμμικών συστημάτων αποτελεί τον ακρογωνιαίο λίθο πολλών αριθμητικών μεθόδων για την επίλυση μίας μεγάλης ποικιλίας πρακτικών υπολογιστικών προβλημάτων.

Χρησιμοποιώντας τους συμβολισμούς πίνακα-διανύσματος, ένα σύστημα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων έχει τη μορφή


362#362

όπου 363#363 είναι ένας 364#364 πίνακας, 365#365 είναι ένα δοσμένο 114#114-διάστατο διάνυσμα και 33#33 είναι το ζητούμενο 366#366-διάστατο διάνυσμα. Ενα τέτοιο σύστημα εξισώσεων θέτει το ερώτημα, "Μπορεί το διάνυσμα 365#365 να εκφραστεί ως γραμμικός συνδυασμός των στηλών του πίνακα 363#363;" Εάν ναι, τότε οι συντελεστές αυτού του γραμμικού συνδυασμού δίνονται από τις συνιστώσες του ζητούμενου διανύσματος 367#367 Γενικά μπορεί να υπάρχει ή να μην υπάρχει λύση και αν υπάρχει μπορεί να μην είναι μοναδική. Στο κεφάλαιο αυτό θα θεωρούμε μόνον τετραγωνικά συστήματα, που σημαίνει ότι 368#368, δηλαδή ότι ο πίνακας 369#369 έχει τον ίδιο αριθμό γραμμών και στηλών. Σε επόμενα κεφάλαια θα θεωρήσουμε και συστήματα όπου 370#370



Subsections

Manolis Vavalis 2000-03-24