next up previous contents
Next: Γενική Στρατηγική Up: Αριθμητικές Μέθοδοι Previous: Αριθμητικές Μέθοδοι   Contents


Εισαγωγή

Το αντικείμενο του παρόντος βιβλίου είναι αυτό που παραδοσιακά ονομάζεται αριθμητική ανάλυση. Η αριθμητική ανάλυση ασχολείται με το σχεδιασμό και την ανάλυση αλγόριθμων για την επίλυση μαθηματικών προβλημάτων που προκύπτουν στην υπολογιστική επιστήμη και στην τεχνολόγια. Για το λόγο αυτό, η αριθμητική ανάλυση έχει γίνει γνωστή τα τελευταία χρόνια ως επιστημονικοί υπολογισμοί. Η αριθμητική ανάλυση διακρίνεται από τους περισσότερους άλλους κλάδους της επιστήμης υπολογιστών από το γεγονός ότι ασχολείται με συνεχείς ποσότητες και όχι διακριτές. Ασχολείται με συναρτήσεις και εξισώσεις όπου οι εμπλεκόμενες μεταβλητές, χρόνος, απόσταση, θερμοκρασία, πυκνότητα, πίεση κ.λπ., είναι από τη φύση τους ποσότητες μεταβλητές. Τα περισσότερα από τα προβλήματα των συνεχών μαθηματικών (για παράδειγμα, σχεδόν κάθε πρόβλημα που εμπλέκει παραγώγους, ολοκληρώματα ή μη γραμμικότητες) δεν μπορούν να επιλυθούν με πεπερασμένο αριθμό πράξεων και για το λόγο αυτό πρέπει να επιλυθούν με μία (θεωρητικά επ' άπειρον) επαναληπτική διαδικασία, που τελικά συγκλίνει σε μια λύση του προβλήματος. Στην πράξη φυσικά μια τέτοια διαδικασία δεν επαναλαμβάνεται επ' άπειρον αλλά έως ότου η λύση να είναι προσεγγιστικά ορθή, "αρκετά κοντά", στο επιθυμητό για πρακτικούς σκοπούς αποτέλεσμα. Ετσι, ένας από τους σημαντικότερους σκοπούς των υπολογιστικών μαθηματικών είναι η εύρεση ταχέως συγκλινόντων επαναληπτικών αλγόριθμων καθώς και η εκτίμηση της ακρίβειας της προσεγγιστικής λύσης. Εάν η σύγκλιση είναι ικανοποιητικά ταχεία, ακόμη και κάποια προβλήματα που μπορούν να επιλυθούν με πεπερασμένο αριθμό πράξεων, όπως τα συστήματα γραμμικών αλγεβρικών εξισώσεων, σε κάποιες περιπτώσεις είναι προτιμότερο να επιλύονται με επαναληπτικές μεθόδους, όπως θα δούμε στη συνέχεια. Συνεπώς, ένας δεύτερος παράγοντας που διακρίνει την αριθμητική ανάλυση είναι η ενασχόλησή της με προσεγγίσεις και τις επιπτώσεις τους. Πολλές τεχνικές επίλυσης εμπλέκουν μία ολόκληρη σειρά από προσεγγίσεις διαφόρων ειδών. Ακόμη και η αριθμητική που χρησιμοποιείται είναι προσεγγιστική, αφού οι υπολογιστές δεν μπορούν να αναπαραστήσουν όλους τους πραγματικούς αριθμούς ακριβώς. Εκτός από τις συνήθεις ιδιότητες που χαρακτηρίζουν τους καλούς αλγόριθμους, όπως η αποδοτικότητα, οι αριθμητικοί αλγόριθμοι πρέπει επίσης να είναι όσο το δυνατόν πιο αξιόπιστοι και πιο ακριβείς παρά τις διάφορες προσεγγίσεις που γίνονται στην πορεία των υπολογισμών.

Subsections

Manolis Vavalis 2000-03-24