next up previous contents
Next: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Up: Γραμικά συστήματα Previous: Γραμικά συστήματα   Contents

Ιδιάζοντες και Μη-ιδιάζοντες Πίνακες

Ενας 371#371 πίνακας 369#369 λέγεται ιδιάζων εάν έχει μία από τις ακόλουθες ισοδύναμες ιδιότητες:

  1. Ο 369#369 δεν έχει αντίστροφο (δηλαδή, δεν υπάρχει πίνακας 372#372 τέτοιος ώστε 373#373, όπου 374#374 ο ταυτοτικός πίνακας).
  2. 375#375
  3. 376#376 (rank ή βαθμός ενός πίνακα είναι ο μέγιστος αριθμός των γραμμικά ανεξάρτητων γραμμών ή στηλών που περιέχει).
  4. 377#377 για κάποιο διάνυσμα 378#378.

Σε αντίθετη περίπτωση ο πίνακας είναι μη ιδιάζων. Η επιλυσιμότητα ενός συστήματος γραμμικών εξισώσεων 379#379 καθορίζετε από το εάν ο πίνακας 369#369 είναι ιδιάζων ή όχι. Αν ο πίνακας 369#369 είναι μη ιδιάζων, τότε υπάρχει ο αντίστροφος του, συμβολίζεται με 380#380, και το σύστημα 379#379 έχει πάντοτε μία μοναδική λύση 381#381 ανεξάρτητα από την τιμή του 365#365. Αν, εξάλλου, ο πίνακας 369#369 είναι ιδιάζων, τότε ο αριθμός των λύσεων καθορίζεται από το διάνυσμα του δεξιού μέλους 382#382 για μια δοσμένη τιμή του 365#365 μπορεί να μην υπάρχει λύση, αλλά εάν υπάρχει λύση τέτοια ώστε 383#383, τότε θα έχουμε επίσης 384#384 για κάθε αριθμό 385#385, όπου το διάνυσμα 386#386 ορίζεται όπως και πριν. Eτσι, αν ένα ιδιάζον σύστημα έχει μία λύση, τότε αυτή δεν μπορεί να είναι μοναδική. Για να ανακεφαλαιώσουμε τις περιπτώσεις, για ένα δοσμένο πίνακα 369#369 και ένα δοσμένο διάνυσμα του δεξιού μέλους 365#365, το σύστημα μπορεί να έχει:

Μία λύση: μη ιδιάζον
Καμία λύση: ιδιάζον
Απειρες λύσεις: ιδιάζον

Στις δύο διαστάσεις, κάθε γραμμική εξίσωση ορίζει μία ευθεία γραμμή στο επίπεδο. Η λύση του συστήματος είναι το σημείο τομής των δύο ευθειών. Αν αυτές οι ευθείες δεν είναι παράλληλες, τότε έχουν ένα μοναδικό σημείο τομής (η μη ιδιάζουσα περίπτωση). Αν οι ευθείες είναι παράλληλες, τότε ή δεν τέμνονται (δεν υπάρχει λύση) ή οι δύο ευθείες ταυτίζονται (κάθε σημείο της κοινής ευθείας είναι λύση του συστήματος). Στις περισσότερες διαστάσεις, κάθε εξίσωση ορίζει ένα υπερεπίπεδο. Στη μη ιδιάζουσα περίπτωση, η μοναδική λύση είναι το σημείο τομής όλων των υπερεπιπέδων.


27#27

Παράδειγμα 2.1   Ιδιάζοντα και Μη-ιδιάζοντα Συστήματα.

Το 387#387 σύστημα

388#388



ή σε συμβολισμό πίνακα-διανύσματος:

389#389

είναι μη ιδιάζον ανεξάρτητα από την τιμή του 365#365. Αν, για παράδειγμα, 390#390, τότε η μοναδική λύση είναι η 391#391

Το 387#387 σύστημα

392#392

είναι ιδιάζον ανεξάρτητα από την τιμή του 365#365. Για 393#393 δεν υπάρχει λύση. Για 394#394 τότε η

395#395

είναι λύση για κάθε πραγματικό αριθμό 385#385.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24