next up previous contents
Next: Τριγωνικά Γραμμικά Συστήματα Up: Συστήματα Γραμμικών Εξισώσεων Previous: Ιδιάζοντες και Μη-ιδιάζοντες Πίνακες   Contents

Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων

Για την επίλυση ενός γραμμικού συστήματος, η γενική στρατηγική που σκιαγραφείται στην Παράγραφο 1.1.1 υποδεικνύει την μετατροπή του συστήματος σε ένα άλλο, του οποίου η λύση είναι η ίδια με αυτήν του αρχικού συστήματος αλλά είναι ευκολότερο να υπολογιστεί. Τι τύπος μετασχηματισμού ενός γραμμικού συστήματος διατηρεί αμετάβλητη τη λύση; Η απάντηση είναι ότι μπορούμε να πολλαπλασιάσουμε από τα αριστερά και τα δύο μέλη του γραμμικού συστήματος 379#379 με έναν μη ιδιάζοντα πίνακα 372#372 χωρίς να επηρεάσουμε την λύση. Για να δούμε γιατί συμβαίνει αυτό, παρατηρείστε ότι η λύση του γραμμικού συστήματος 396#396 δίνεται, διαοχικά, από τις εκφράσεις:

397#397


27#27

Παράδειγμα 2.2   Αντιμεταθέσεις.

Ενα σημαντικό παράδειγμα ενός τέτοιου μετασχηματισμού είναι το γεγονός ότι οι γραμμές του 369#369 και οι αντίστοιχες συνιστώσες του 365#365 μπορούν να αναδιαταχθούν χωρίς να αλλάξει η λύση 33#33. Αυτό διαισθητικά είναι προφανές: όλες οι εξισώσεις του συστήματος πρέπει να ικανοποιούνται ταυτόχρονα σε κάθε περίπτωση, οπότε η σειρά με την οποία τυχαίνει να γράφονται δεν έχει σημασία: θα μπορούσαν να έχουν ανασυρθεί τυχαία από ένα καπέλο. Τυπικά, μία τέτοια αναδιάταξη των γραμμών επιτυγχάνεται πολλαπλασιάζοντας από τα αριστερά και τα δύο μέλη της εξίσωσης με έναν αντιμεταθετικό πίνακα 398#398, ο οποίος είναι ένας τετραγωνικός πίνακας που έχει ακριβώς μια μονάδα σε κάθε γραμμή και στήλη και μηδενικά οπουδήποτε αλλού (δηλαδή, ο ταυτοτικός πίνακας με τις γραμμές στήλες και τις στήλες του μετατεθιμένες). Για παράδειγμα,

399#399

Ενας αντιμεταθετικός πίνακας είναι πάντοτε μη ιδιάζων και στην πραγματικότητα ο αντίστροφος του είναι απλά ο ανάστροφος του: 400#400 (ο ανάστροφος ενός πίνακα 213#213, συμβολίζεται με 401#401 είναι ένας πίνακας του οποίου οι στήλες είναι οι γραμμές του 372#372, δηλαδή, αν 402#402, τότε 403#403). Ετσι, το αναδιαταγμένο σύστημα μπορεί να γραφτεί 404#404, και η λύση 33#33 παραμένει αμετάβλητη.

Ο πολλαπλασιάζοντας από τα δεξιά με έναν αντιμεταθετικό πίνακα αναδιατάσσει τις στήλες ενός πίνακα αντί για τις γραμμές. Ενας τέτοιος μετασχηματισμός αλλάζει τη λύση, μόνο κατά την έννοια ότι αλλάζουν θέση οι συνιστώσες της. Για να το δούμε αυτό, παρατηρείστε ότι η λύση του συστήματος 379#379 δίνεται από τις εκφράσεις:

405#405


27#27

Παράδειγμα 2.3   Διαγώνια Στάθμιση.

Αλλος ένας απλός αλλά σημαντικός τρόπος μετασχηματισμού είναι η διαγώνια στάθμιση. Θυμηθείτε ότι ο πίνακας 406#406 είναι διαγώνιος εάν 407#407 για κάθε 408#408 ή αλλιώς αν τα μόνα μη μηδενικά στοιχεία του είναι τα 409#409, δηλαδή τα στοιχεία της κύριας διαγωνίου του. Πολλαπλασιάζοντας από αριστερά και τα δύο μέλη ενός γραμμικού συστήματος 379#379 με ένα μη ιδιάζοντα διαγώνιο πίνακα 406#406 πολλαπλασιάζεται κάθε γραμμή του πίνακα και του δεξιού μέλους με το αντίστοιχο στοιχείο της διαγωνίου του 406#406 και η διαδικασία αυτή ονομάζεται στάθμιση γραμμών. Καταρχήν, η στάθμιση γραμμών δεν αλλάζει τη λύση του γραμμικού συστήματος αλλά στην πράξη μπορεί να επηρεάσει την αριθμητική διαδικασία επίλυσης και την ακρίβεια του αποτελέσματος που μπορεί να επιτευχθεί σε ένα δοσμένο πρόβλημα, όπως θα δούμε. Η στάθμιση στηλών - πολλαπλασιασμός απο δεξιά του πίνακα ενός γραμμικού συστήματος με ένα μη ιδιάζοντα διαγώνιο πίνακα 406#406- πολλαπλασιάζει κάθε στήλη του πίνακα με το αντίστοιχο στοιχείο της διαγωνίου του πίνακα 406#406. Ενας τέτοιος μετασχηματισμός επηρεάζει τη λύση, με την έννοια ότι αλλάζει τις μονάδες με τις οποίες μετριούνται οι συνιστώσες της λύσης. Η λύση του σταθμισμένου συστήματος 410#410 δίνεται από την έκφραση

411#411

και επομένως η λύση του αρχικού συστήματος δίνεται από την 412#412.


27#27



Subsections

Manolis Vavalis 2000-03-24