next up previous contents
Next: Απαλοιφή και Παραγοντοποίηση. Up: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Previous: Τριγωνικά Γραμμικά Συστήματα   Contents

Στοιχειώδεις Πίνακες Απαλοιφής

Η στρατηγική μας επομένως είναι να επινοήσουμε ένα μη ιδιάζοντα γραμμικό μετασχηματισμό που να μετασχηματίζει ένα δοσμένο γραμμικό σύστημα γενικής μορφής σε ένα γραμμικό τριγωνικό σύστημα που μπορούμε εύκολα να λύσουμε εφαρμόζοντας διαδοχικές αντικαταστάσεις. Αναλυτικότερα, χρειαζόμαστε ένα μετασχηματισμό που να αντικαθιστά επιλεγμένα μη μηδενικά στοιχεία του δοσμένου πίνακα με μηδενικά. Αυτό μπορεί να επιτευχθεί αν πάρουμε κατάλληλους γραμμικούς συνδυασμούς των γραμμών του πίνακα, όπως αποδεικνύουμε αμέσως.

Θεωρείστε το διδιάστατο διάνυσμα 428#428. Αν 429#429, τότε

430#430

Πιο γενικά, για ένα δοσμένο 366#366-διάστατο διάνυσμα 431#431, μπορούμε να απαλείψουμε όλα τα στοιχεία του κάτω από την 432#432 θέση, αρκεί 433#433 με τον ακόλουθο μετασχηματισμό:


434#434

όπου 435#435. Ο διαιρέτης 436#436 ονομάζεται οδηγός. Eνας πίνακας αυτής της μορφής ονομάζεται μερικές φορές στοιχειώδης πίνακας απαλοιφής ή μετασχηματισμός του 1#1, και η επίδρασή του σε ένα διάνυσμα είναι να προσθέτει ένα πολλαπλάσιο της γραμμής 432#432 σε κάθε επόμενη γραμμή, με τους πολλαπλασιαστές 437#437 επιλεγμένους έτσι, ώστε το αποτέλεσμα σε κάθε περίπτωση να είναι μηδέν. Σημειώστε τα ακόλουθα γι' αυτούς τους στοιχειώδεις πίνακες απαλοιφής:

  1. O 438#438 είναι ένας κάτω τριγωνικός πίνακας με μονάδες στην κύρια διαγώνιο και επομένως είναι μη ιδιάζων.
  2. 439#439, όπου 440#440 και 441#441 είναι η 432#432 στήλη του ταυτοτικού πίνακα.
  3. 442#442 που σημαίνει ότι 443#443, τον οποίο θα συμβολίζουμε με 444#444, είναι ο ίδιος με τον 445#445, με τη διαφορά ότι τα πρόσημα των πολλαπλασιαστών είναι αντιστραμμένα.
  4. Αν 446#446 είναι ένας άλλος στοιχειώδης πίνακας απαλοιφής με διάνυσμα πολλαπλασιαστών 49#49, τότε


    447#447

    αφού 448#448 Ετσι, το γινόμενό τους είναι ουσιαστικά η "ένωσή" τους. Επειδή έχουν την ίδια μορφή, ένα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει και για το γινόμενο των αντίστροφών τους, 449#449. Τονίζεται ότι η σειρά του πολλαπλασιασμού έχει σημασία. Αυτά τα αποτελέσματα δεν ισχύουν για το αντίστροφο γινόμενο.


27#27

Παράδειγμα 2.5   Στοιχειώδεις Πίνακες Απαλοιφής.

Αν 450#450, τότε

451#451

Παρατηρούμε επίσης ότι

452#452

και

453#453


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24