next up previous contents
Next: Οδήγηση Up: Επίλυση Γραμμικών Συστημάτων Previous: Στοιχειώδεις Πίνακες Απαλοιφής   Contents

Απαλοιφή 1#1 και 2#2 Παραγοντοποίηση.

Με τους στοιχειώδεις πίνακες απαλοιφής είναι αρκετά εύκολο να μετατρέψουμε ένα οποιοδήποτε γραμμικό σύστημα 379#379 σε άνω τριγωνικό σύστημα. Πρώτα επιλέγουμε έναν κατάλληλο στοιχειώδη πίνακα απαλοιφής 454#454 σύμφωνα με τον τρόπο που υποδείχθηκε στην Παράγραφο 2.2.2, με το πρώτο στοιχείο της κύριας διαγωνίου του 455#455 ως οδηγό, έτσι ώστε, όταν πολλαπλασιάσουμε απο αριστερα με 456#456, κάθε στοιχείο της πρώτη στήλης του 369#369 να μηδενιστεί εκτός από αυτό της πρώτης γραμμής. Φυσικά, όλες οι υπόλοιπες στήλες του 369#369, καθώς επίσης και το διάνυσμα 365#365 του δεύτερου μέλους, πολλαπλασιάζονται επί 457#457, έτσι το νέο σύστημα γίνεται 458#458 αλλά σύμφωνα με όσα είπαμε πριν η λύση παραμένει αμετάβλητη.

Στη συνέχεια χρησιμοποιούμε το δεύτερο στοιχείο της διαγωνίου ως οδηγό για να ορίσουμε ένα δεύτερο στοιχειώδη πίνακα απαλοιφής 459#459 που απαλείφει όλα τα στοιχεία της δεύτερης στήλης του νέου πίνακα 460#460 κάτω από τη δεύτερη γραμμή. Πάλι, ο 459#459 πρέπει να εφαρμοστεί σε ολόκληρο τον πίνακα και στο διάνυσμα του δεξιού μέλους, έτσι ώστε λαμβάνουμε το περαιτέρω τροποποιημένο γραμμικό σύστημα 461#461. Σημειώνεται ότι η πρώτη στήλη του πίνακα 460#460 δεν επηρεάζεται από τον 459#459 επειδή όλα του τα στοιχεία είναι μηδέν στις σχετικές γραμμές. Αυτή η διαδικασία συνεχίζεται για κάθε επόμενη στήλη έως ότου μηδενιστούν όλα τα στοιχεία του πίνακα κάτω από την κύρια διαγώνιο, έτσι ώστε το γραμμικό σύστημα 462#462 είναι άνω τριγωνικό και μπορεί να επιλυθεί με πρός τα πίοω αντικατάσταση δίνοντάς μας τη λύση του αρχικού γραμμικού συστήματος 383#383.

Η διαδικασία που μόλις περιγράψαμε είναι γνωστή ως απαλοιφή 1#1. Είναι επίσης γνωστή και ως 2#2 ανάλυση ή 2#2 παραγοντοποίηση γιατί αναλύει τον πίνακα 369#369 σε ένα γινόμενο ενός κάτω τριγωνικού πίνακα με μοναδιαία διαγώνια στοιχεία, του 107#107, και ενός άνω τριγωνικού πίνακα, του 108#108. Για να το δούμε αυτό, ας θυμηθούμε ότι το γινόμενο 463#463 είναι κάτω τριγωνικός πίνακας με μονάδες στη διαγώνιο αν 464#464 έτσι ώστε

465#465

είναι κάτω τριγωνικός με μονάδες στη διαγώνιο. Eχουμε ήδη δεί, εκ κατασκευής, ότι ο πίνακας 466#466 είναι άνω τριγωνικός. Επομένως, έχουμε εκφράσει τον 369#369 σαν ένα γινόμενο

467#467

όπου ο 107#107 είναι κάτω τριγωνικός με μονάδες στη διαγώνιο και ο 108#108 άνω τριγωνικός. Δεδομένης μιας τέτοιας παραγοντοποίησης, το γραμμικό σύστημα 379#379 μπορεί λοιπόν να γραφτεί ως 468#468 και επομένως μπορεί να λυθεί αν πρώτα λύσουμε το κάτω τριγωνικό σύστημα 469#469 με προς τα μπρος αντικατάσταση και μετά το άνω τριγωνικό σύστημα 470#470 με προς τα πίσω αντικατάσταση. Σημειώστε ότι η ενδιάμεση λύση 170#170 είναι η ίδια με το μετασχηματισμένο διάνυσμα του δεξιού μέλους, 471#471 στην προηγούμενη διατύπωση. Επομένως, η απαλοιφή 1#1 και η 2#2 παραγοντοποίηση είναι απλά δύο τρόποι έκφρασης της ίδιας διαδικασίας επίλυσης.


27#27

Παράδειγμα 2.6   Απαλοιφή 1#1. Επεξηγούμε την απαλοιφή 1#1 επιλύοντας το γραμμικό σύστημα

472#472

ή σε συμβολισμό πινάκων

473#473

Για να μηδενίσουμε τα κάτω από την κύρια διαγώνιο στοιχεία της πρώτης στήλης του 369#369, αφαιρούμε δύο φορές την πρώτη γραμμή από τη δεύτερη και προσθέτουμε την πρώτη γραμμή στην τρίτη:

474#474

Τώρα, για να μηδενίσουμε τα κάτω από την κύρια διαγώνιο στοιχεία της δεύτερης στήλης του 460#460, αφαιρούμε την δεύτερη γραμμή από την τρίτη:

475#475

Εχουμε έτσι καταφέρει να απλοποιήσουμε το αρχικό σύστημα στο ισοδύναμο άνω τριγωνικό σύστημα

476#476

το οποίο μπορεί τώρα να λυθεί με προς τα πίσω αντικατάσταση (όπως στο Παράδειγμα 2.4) για να πάρουμε τελικά 477#477. Για να γράψουμε αναλυτικά την 2#2 παραγοντοποίηση, έχουμε

478#478

έτσι ώστε

479#479


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24