next up previous contents
Next: Νόρμες Πινάκων Up: Νόρμες και Αριθμοί Κατάστασης Previous: Νόρμες και Αριθμοί Κατάστασης   Contents

Νόρμες Διανυσμάτων

Για να μετρήσουμε τα σφάλματα και την ευαισθησία κατά την επίλυση γραμμικών συστημάτων, χρειαζόμαστε κάποια ιδέα του «μεγέθους» των διανυσμάτων και των πινάκων. Η βαθμωτή έννοια του μεγέθους, του μέτρου, ή της απόλυτης τιμής μπορούν να γενικευθούν με την εισαγωγή της έννοιας της νόρμας για διανύσματα και για πίνακες. Αν και ένας περισσότερο γενικός ορισμός είναι δυνατός, όλες οι νόρμες διανυσμάτων που θα χρησιμοποιήσουμε είναι περιπτώσεις 603#603-νορμών, οι οποίες για έναν ακέραιο 604#604 και ένα διάνυσμα 33#33 διάστασης 366#366 ορίζονται ως εξής:


605#605

Σημαντικές ειδικές περιπτώσεις είναι οι παρακάτω:

Ολες αυτές οι νόρμες δίνουν τα ίδια ποιοτικά αποτελέσματα, αλλά σε συγκεκριμένες περιπτώσεις, μπορεί να είναι πιο εύκολο να εργαστούμε με μία ορισμένη νόρμα, αναλυτικά ή υπολογιστικά. Οι 39#39-νόρμα και 609#609-νόρμα συνήθως χρησιμοποιούνται στην ανάλυση της ευαισθησίας της λύσης γραμμικών συστημάτων. Θα χρησιμοποιούμε τη 612#612-νόρμα αργότερα σε άλλες περιπτώσεις. Οι διαφορές μεταξύ αυτών των νορμών φαίνεται στο Σχήμα 2.1, που δείχνει τη μοναδιαία σφαίρα, 613#613, σε δύο διαστάσεις για κάθε μία νόρμα.

Figure: Η μοναδιαία σφαίρα σε ποικίλες νόρμες διανυσμάτων
73#73

Η νόρμα ενός διανύσματος είναι απλά ο παράγοντας με βάση τον οποίο η μοναδιαία σφαίρα πρέπει να επεκταθεί ή να συρρικνωθεί ώστε να περικλέισει το διάνυσμα. Για παράδειγμα, για το διάνυσμα του Σχήματος 2.1 οι νόρμες έχουν τις ακόλουθες τιμές:


614#614

Γενικά, για κάθε διάνυσμα 33#33 του 615#615, έχουμε


616#616

Εξάλλου, ισχύουν και τα εξής:


617#617

Αρα, για ένα δοσμένο 366#366 οποιεσδήποτε δύο νόρμες διαφέρουν μεταξύ τους κατά έναν πεπερασμένο παράγοντα, οπότε είναι όλες ισοδύναμες με την έννοια ότι όταν μία από αυτές είναι μικρή, πρέπει να είναι όλες ανάλογα μικρές. Επομένως, μπορούμε να επιλέξουμε οποιαδήποτε νόρμα είναι πιο κατάλληλη σε μια δοσμένη περίπτωση. Στο παρόν βιβλίο από τώρα και μετά, θα χρησιμοποιούμε τον κατάλληλο δείκτη για να υποδειχθεί μία συγκεκριμένη νόρμα, όταν αυτό θεωρείται απαραίτητο, αλλά ο δείκτης αυτός θα παραλείπεται όταν δεν έχει σημασία ποια συγκεκριμένη νόρμα χησιμοποιείται.

Για κάθε νόρμα διανύσματος, ισχύουν οι παρακάτω σημαντικές ιδιότητες, όπου 33#33 και 170#170 είναι οποιαδήποτε διανύσματα:

  1. 618#618 αν 619#619.
  2. 620#620 για κάθε πραγματικό αριθμό 385#385.
  3. 621#621 (τριγωνική ανισότητα).

Σε μια γενικότερη αντιμετώπιση, αυτές οι τρεις ιδιότητες μπορούν να θεωρηθούν ως ο ορισμός της νόρμας διανύσματος. Μία χρήσιμη τροποποίηση της τριγωνικής ανισότητας είναι


622#622



Manolis Vavalis 2000-03-24