next up previous contents
Next: Δείκτης (Αριθμός) Κατάστασης ενός Up: Νόρμες και Αριθμοί Κατάστασης Previous: Νόρμες Διανυσμάτων   Contents

Νόρμες Πινάκων

Χρειάζεται επίσης έναν τρόπο για να μετράμε το μέγεθος ή μέτρο των πινάκων. Ξανά, ένας γενικότερος ορισμός είναι δυνατός, αλλά όλες οι νόρμες διανυσμάτων που θα χρησιμοποιήσουμε ορίζονται με βάση μια ήδη ορισμένη νόρμα διανύσματος. Πιο συγκεκριμένα, για μία δοσμένη νόρμα διανύσματος, ορίζουμε την αντίστοιχη νόρμα πίνακα ως ακολούθως:

623#623

Μία τέτοια νόρμα πίνακα, λέμε ότι παράγεται από μία νόρμα διανύσματος. Διαισθητικά, η νόρμα ενός πίνακα μετράει τη μέγιστη επέκταση που προκαλεί ο πίνακας στο διάνυσμα, όπως αυτή μετράται στη δοσμένη νόρμα του διανύσματος.

Μερικές νόρμες πινάκων είναι πολύ πιο εύκολο να υπολογιστούν από κάποιες άλλες. Για παράδειγμα, η νόρμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην 39#39-νόρμα διανύσματος είναι απλά το μεγαλύτερο από τα αθροίσματα των απόλυτων τιμών των στοιχείων της κάθε στήλης του πίνακα,

624#624

και η νόρμα του πίνακα που αντιστοιχεί στην 609#609-νόρμα διανύσματος είναι απλά το μεγαλύτερο από τα αθροίσματα των απόλυτων τιμών των στοιχείων της κάθε γραμμής του πίνακα,

625#625

Ενας εύχρηστος τρόπος για να θυμάται κανείς αυτά είναι να θυμάται ότι οι νόρμες πινάκων συμφωνούν με τις αντίστοιχες νόρμες διανυσμάτων για έναν 626#626 πίνακα. Δυστυχώς, δεν είναι τόσο απλό να υπολογιστεί η νόρμα πίνακα που αντιστοιχεί στην 612#612-νόρμα διανύσματος. Αυτή προκύπτει ως ίση με την τετραγωνική ρίζα της μέγιστης ιδιοτιμής του πίνακα 627#627 ή, όπως θα δούμε αργότερα, η μέγιστη ιδιάζουσα τιμή του 369#369 (δείτε Κεφάλαιο 4.5.2).

Οι νόρμες πίνακα που έχουμε ορίσει ικανοποιούν τις παρακάτω σημαντικές ιδιότητες, όπου 369#369 και 628#628 είναι οποιοιδήποτε πίνακες:

  1. 629#629 εάν 630#630.
  2. 631#631 για οποιονδήποτε πραγματικό αριθμό 385#385.
  3. 632#632.
  4. 633#633.
  5. 634#634 για οποιοδήποτε διάνυσμα 33#33.

Με μία γενικότερη αντιμετώπιση, οι τρεις πρώτες ιδιότητες μπορεί να θεωρηθούν ως ο ορισμός της νόρμας πίνακα. Οι υπόλοιπες δύο ιδιότητες, γνωστές και ως υποπολλαπλασιαστικές ή καταστάσεις συνέπειας, ενδέχεται να ισχύουν ή και να μην ισχύουν γι' αυτές τις γενικότερες νόρμες πινάκων, αλλά πάντα ισχύουν για τις νόρμες πινάκων που παράγονται από 603#603-νόρμες διανύσματος.



Manolis Vavalis 2000-03-24