next up previous contents
Next: Βελτίωση της Ακρίβειας Up: Ακρίβεια Λύσεων Previous: Υπόλοιπο μιας Λύσης   Contents

Εκτίμηση Ακρίβειας

Εκτός από το να είναι μία αξιόπιστη ένδειξη του πόσο κοντά είναι σε ιδιάζουσα κατάσταση, ο δείκτης κατάστασης παρέχει επίσης ποσοτική εκτίμηση του σφάλματος της υπολογισθείσας λύσης ενός γραμμικού συστήματος, όπως θα δούμε τώρα. Εστω ότι 33#33 είναι η λύση του μη ιδιάζοντος γραμμικού συστήματος 383#383 και έστω ότι 47#47 είναι η λύση του συστήματος 676#676 με διαταραγμένο δεξιό μέλος. Αν ορίσουμε 677#677 τότε έχουμε

678#678

Αφού 383#383 πρέπει να έχουμε 679#679, οπότε 680#680. Τώρα ισχύουν

681#681

και

682#682

το οποίο, χρησιμοποιώντας τον ορισμό 683#683 δίνει την εκτίμηση

684#684

Αρα, ο δείκτης κατάστασης του πίνακα προσδιορίζει την πιθανή μεταβολή (διαταραχή) της λύσης η οποία οφείλεται σε μία σχετική μεταβολή (διαταραχή) στο διάνυσμα του δεξιού μέλους, ανεξάρτητα από το χρησιμοποιηθέντα αλγόριθμο για να υπολογίσουμε τη λύση (συγκρίνετε με τη γενική ιδέα του δείκτη κατάστασης όπως ορίστηκε στο Κεφάλαιο 1.2.5). Ενα παρόμοιο αποτέλεσμα ισχύει για σχετικές μεταβολές στα στοιχεία του πίνακα 369#369. Αν 383#383 και

685#685

τότε

686#686

έτσι ώστε

687#687

το οποίο δίνει την εκτίμηση

688#688

Ως μία εναλλακτική λύση για την αλγεβρική παραγωγή που μόλις δόθηκε, μπορεί να χρησιμοποιηθεί ο απειροστικός λογισμός για την εκτίμηση της ευαισθησίας των γραμμικών συστημάτων. Εισάγοντας την πραγματική παράμετρο 49#49, ορίζουμε 689#689, και 690#690 και θεωρούμε τη λύση 691#691 του γραμμικού συστήματος 692#692 Παραγωγίζοντας αυτή την ισότητα ως προς 49#49, παίρνουμε

693#693

έτσι ώστε έχουμε

694#694

και άρα, υπολογίζοντας για 695#695 και παίρνοντας νόρμες,

696#696

Αρα, και πάλι βλέπουμε ότι η σχετική μεταβολή στη λύση φράσσεται από τον αριθμό κατάστασης επί τη σχετική μεταβολή των δεδομένων του προβλήματος.

Μία γεωμετρική ερμηνεία αυτής της ευαισθησίας των αποτελεσμάτων στις δύο διαστάσεις είναι ότι αν οι δύο ευθείες γραμμές που ορίζονται από τις δύο εξισώσεις είναι σχεδόν παράλληλες, τότε το σημείο τομής τους δεν ορίζεται ξεκάθαρα αν οι δύο γραμμές είναι λίγο ασαφείς εξαιτίας των σφαλμάτων στρογγύλευσης ή σφαλμάτων άλλων πηγών. Εξάλλου, αν οι γραμμές απέχουν πολύ από την παραλληλία, ας πούμε είναι σχεδόν κάθετες, τότε η τομή τους ορίζεται σχετικά ξεκάθαρα. Αυτές οι δύο περιπτώσεις φαίνονται στο Σχήμα 2.2, όπου οι διακεκομμένες γραμμές δείχνουν την περιοχή αβεβαιότητας για κάθε μια πλήρη γραμμή, οπότε το σημείο τομής σε κάθε μία περίπτωση θα μπορούσε να είναι οπουδήποτε μέσα στο σκιασμένο παραλληλόγραμμο. Αρα, ένας μεγάλος δείκτης κατάστασης συνδέεται με μεγάλη αβεβαιότητα για τη λύση.

Figure: Καλής κατάστασης και κακής κατάστασης γραμμικά συστήματα.
73#73

Συνοψίζοντας, αν τα δεδομένα εισόδου είναι κοντά στην ακρίβεια της μηχανής, τότε μία λογική εκτίμηση του σχετικού σφάλματος της υπολογισθείσας λύσης του γραμμικού συστήματος δίνεται από τη σχέση

697#697

Ενας απλός τρόπος να ερμηνεύσουμε αυτά τα αποτελέσματα είναι ότι η υπολογισθείσα λύση χάνει περίπου 698#698 δεκαδικά ψηφία σε ακρίβεια σε σχέση με την ακρίβεια των δεδομένων. Στο Παράδειγμα 2.10, για παράδειγμα, με δείκτη κατάσταση μεγαλύτερο του 699#699, είχαμε απώλεια και των τριών ψηφίων ακρίβειας που ήταν διαθέσιμα και πήραμε μία τυχαία λύση.

Πριν αφήσουμε το θέμα της εκτίμησης της ακρίβειας σε όρους δεικτών κατάστασης, σημειώστε αυτές τις δυο προειδοποιήσεις:



Manolis Vavalis 2000-03-24