next up previous contents
Next: Γραμμικά ελάχιστα τετράγωνα Up: Γραμμικά Ελάχιστα Τετράγωνα Previous: Γραμμικά Ελάχιστα Τετράγωνα   Contents

Προσαρμογή Δεδομένων

Η ποιό συνήθης πηγή υπερ-καθορισμένων γραμμικών συστημάτων είναι κυρίως η διαδικασία προσαρμογής δεδομένων, ειδικά όταν τα δεδομένα εμπεριέχουν σφάλματα τυχαίας κατανομής, όπως οι περισσότερες εμπειρικές εργαστηριακές μετρήσεις ή άλλες παρατηρήσεις της φύσης. Δοθέντων 114#114 ζευγών δεδομένων 711#711, θέλουμε να βρούμε ένα 366#366-διάστατο διάνυσμα 33#33 παραμέτρων οι οποίες ορίζουν την 'βέλτιστη προσαρμογή' της συνάρτησης μοντέλου 712#712 όπου 713#713. Με τον όρο βέλτιστη προσαρμογή εννούμε ότι

714#714

Η προσαρμογή αυτή ονομάζεται λύση ελαχίστων τετραγώνων μιά και ελαχιστοποιεί το άθροισμα των τετραγώνων των διαφορών μεταξύ των τιμών της προκύπτουσας συνάρτησης 715#715 και των δεδομένων 716#716. Προβλήματα σαν το παραπάνω είναι γνωστά στην στατιστική σαν "ανάλυση ???". Σημειώστε ότι η ποσότητα που ελαχιστοποιούμε ειναι απλά το τετράγωνο της Ευκλείδιας 2-νόρμας. Μπορεί κανείς να χρησιμοποιήσει εναλλακτικά άλλες νόρμες, όπως οι 1-νόρμα ή η 609#609-νόρμα, όμως κάτι τέτοιο δεν είναι τόσο βολικό απο υπολογιστική άποψη ενώ δίνει αποτελέσματα με διαφορετικές στατιστικές ιδιότητες.

Ένα πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων είναι γραμμικό εάν η συνάρτηση 51#51 είναι γραμμικη ώς προς το διάνυσμα 33#33, το οποίο σημαίνει οτι η 51#51 είναι ένας γραμμικός συνδοιασμός

717#717

των συναρτήσεων 718#718 οι οποίες εξαρτώνται μονο απο το 49#49.


27#27

Παράδειγμα 3.1   ΠΡΟΣΑΡΜΟΓΗ ΔΕΔΟΜΕΝΩΝ. Πολυωνυμική προσαρμογή, με

719#719

είναι ένα γραμμικό πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων επειδή ένα πολυώνυμο είναι γραμμικό ώς προς τους συντελεστές του, παρόλο που είναι μη-γραμμικό ώς προς την ανεξάτητη μεταβήτή 49#49. Ένα παράδειγμα μη-γραμμικού προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων για προσαρμογή δεδομένων είναι το παρακάτων άθροισμα εκθετικών όρων.

720#720


27#27

Θα ασχοληθούμε με μη-γραμμικά προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων στην ενότητα 6.4. Στο παρούσα ενότητα θα επικεντρωθούμε σε γραμμικά προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων. Ο αναγνώστης που ενδιαφέρεται για τις πολλές και σημαντικές στατιστικές θεωρήσεις της διατύπωσης των προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων και τις ανάλυσης των αποτελεσμάτων τους θα πρέπει να συμβουλευτεί κάποιο βιβλίο σε ανάλυση ??? η ?? στατιστική.



Manolis Vavalis 2000-03-24