next up previous contents
Next: Οδήγηση στηλών Up: Μέθοδοι Ορθογωνοποίησης Previous: Ορθογωνιοποίηση   Contents

Έλλειψη διαστάσεων.

Μέχρι τώρα υποθέταμε ότι ο 369#369 είχε όλες τις διαστάσεις, 871#871. Αν βρεθούμε σε μία διαφορετική κατάσταση από αυτή, π.χ., αν ο 369#369 έχει γραμμικώς εξαρτημένες στήλες, τότε ναι μεν ισχύει ακόμα η παραγοντοποίηση 8#8, αλλά ο άνω τριγωνικός παράγοντας 777#777 είναι ιδιάζον πίνακας (όπως είναι ο 627#627). ¶ρα, πολλά διανύσματα 33#33 δίνουν την ίδια ελάχιστα διαφορετική νόρμα, και η λύση του προβλήματος ελαχίστων τετραγώνων δεν είναι μοναδική. υτή η κατάσταση συνήθως προκύπτει από ένα ελλιπώς σχεδιασμένο πείραμα, ανακριβή δεδομένα, ή ένα αναξιόπιστο ή περιττό μοντέλο. Άρα, πιθανότατα το πρόβλημα θα έπρεπε να αναμορφωθεί ή να αναθεωρηθεί.

Αν, παρόλα αυτά, κάποιος επιμένει να σχηματίζει το πρόβλημα σε αυτή τη μορφή, τότε μία κοινή πρακτική είναι να συλλέγουμε την ελάχιστα διαφορετική λύση 33#33 που έχει τη μικρότερη νόρμα. Αυτό μπορεί να υπολογιστεί μέσω της παραγοντοποίησης 8#8 με την οδήγηση στηλών, με το οποίο θα ασχοληθούμε αργότερα, ή μέσω της ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής στα συστατικά της (12#12), το οποίο θα μελετήσουμε στην Ενότητα 4.5. Παρατηρείστε ότι μία τέτοια διαδικασία για την αντιμετώπιση της έλλειψης διαστάσεων μας επιτρέπει ακόμα και να χειριζόμαστε ακαθόριστα προβλήματα, όπου 710#710, αφού οι στήλες του 369#369 είναι υποχρεωτικά εξαρτημένες σε αυτή την περίπτωση.

Στην πράξη, οι διαστάσεις ενός πίνακα συχνά δεν είναι ξεκάθαρα ορισμένες. Επομένως, χρησιμοποιείται μία σχετική ανεκτικότητα κατά την ανίχνευση καταστάσεων που βρίσκονται κοντά σε αυτήν έλλειψης διαστάσεων για τα προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων, όπως ακριβώς και κατά την ανίχνευση καταστάσεων που βρίσκονται κοντά στην ιδιάζουσα κατάσταση των τετραγωνικών γραμμικών συστημάτων. Αν ένα πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων βρίσκεται κοντά στην κατάσταση έλλειψης διαστάσεων, τότε η λύση θα είναι ευαίσθητη σε διαφοροποιήσεις των δεδομένων. Θα μπορούμε να εξετάσουμε αυτές τις ενότητες με μεγαλύτερη ακρίβεια όταν θα εισάγουμε την έννοια της ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής ενός πίνακα στην ενότητα 4.5. Από τις μεθόδους που χρησιμοποιούνται για την παραγοντοποίηση 8#8, η επικρατούσα για την ανίχνευση και την αντιμετώπιση πιθανούς έλλειψης διαστάσεων είναι η οδήγηση στηλών, με την οποία θα ασχοληθούμε αμέσως μετά.


27#27

Παράδειγμα 3.9   ΚΑΤΆΣΤΑΣΗ ΚΟΝΤΑ ΣΤΗΝ ΕΛΛΕΙΨΗ ΔΙΑΣΤΑΣΕΩΝ.

Θεωρείστε τον 872#872 πίνακα


873#873

Αν υπολογίσουμε την παραγοντοποίηση 8#8 για τον πίνακα 369#369, βρίσκουμε ότι


874#874

¶ρα, ο 777#777 βρίσκεται πάρα πολύ κοντά στο να γίνει ιδιάζον (στην πραγματικότητα, είναι ακριβώς ιδιάζον για ακρίβεια τριών ψηφίων με την οποία εκφράστηκε το πρόβλημα), και αν χρησιμοποιήσουμε τον 777#777 για να λύσουμε ένα πρόβλημα ελαχίστων τετραγώνων, το αποτέλεσμα θα είναι αντιστοίχως ευαίσθητο στις διαφοροποιήσεις στο δεξί μέλος. Για πρακτικούς λόγους, η διάσταση του 369#369 είναι μόνο ένα αντί για δύο, αφού οι στήλες του είναι σχεδόν γραμμικώς εξαρτημένες.


27#27



Manolis Vavalis 2000-03-24