next up previous contents
Next: Ιδιοτιμές και Ιδιάζουσες Τιμές Up: Γραμμικά Ελάχιστα Τετράγωνα Previous: Λογισμικό για Γραμμικά Προβλήματα   Contents

Ιστορικές σημειώσεις και επιπρόσθετη μελέτη

Η μέθοδος κανονικών εξισώσεων για τα προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων, σύμφωνα με τον 1#1, χρονολογείται περίπου από το 1800, και η ορθογωνιοποίηση 6#6 από το 1900. Οι μέθοδοι ορθογωνιοποίησης του 771#771 και 4#4 χρονολογούνται από το τέλος της δεκαετίας του 1950, και η αριθμητικά σταθερή τροποποιημένη μορφή της ορθογωνιοποίησης 6#6 χρονολογείται από τη δεκαετία του 1960. Η χρήση της ορθογωνιοποίησης στην επίλυση προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων, ειδικά με τη μέθοδο 771#771, διαδόθηκε από τον 897#897 [101]. Μπορείτε να βρείτε μία βοηθητική εισαγωγή στις μετατροπές 771#771 (που ασχολείται μόνο με τετραγωνικά συστήματα) στην [28]. Αναφορές στην καταννόηση των υπολογισμών ελαχίστων τετραγώνων εμπεριέχουν οι [19, 76, 163]. Επίσης, τα βιβλία που ασχολούνται με υπολογισμούς μεταξύ πινάκων, τα οποία αναφέρονται στο Κεφάλαιο 2, μιλάνε αρκετά λεπτομερώς για γραμμικά προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων. Για μία ματιά από την οπτική γωνία της στατιστικής, δείτε τα [148, 254].

Έχουμε μιλήσει μόνο για την πιο απλή μορφή των προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων, στα οποία η πρότυπη συνάρτηση είναι γραμμική, μόνο οι τιμές 898#898 της εξαρτημένης μεταβλητής είναι εκτεθειμένες στο τυχαίο σφάλμα(π.χ., οι τιμές 899#899 της ανεξάρτητης μεταβλητής 49#49 παίρνονται επ' ακριβώς), και όλα τα στοιχεία δεδομένων έχουν το ίδιο βάρος. Θα μιλήσουμε για μη γραμμικά προβλήματα ελαχίστων τετραγώνων στην Ενότητα 6.4. Το να συνδιάζουμε διαφορετικά βάρη για τα στοιχεία δεδομένων ή για πιο γενικές (? 900#900?) μεταξύ των μεταβλητών είναι σχετικά ξεκάθαρο σε σύγκριση με τα προτότυπα επίλυσης προβλημάτων για τα οποία έχουμε μιλήσει. Για παράδειγμα, το να επιτρέπουμε διαφορετικά βάρη για τα στοιχεία δεδομένων απλά εμπλέκει τον πολλαπλασιασμό και των δύο μελών του συστήματος ελαχίστων τετραγώνων με έναν διαγώνιο πίνακα. Όταν όλες οι μεταβλητές εκτίθενται στο τυχαίο σφάλμα, έτσι ώστε τόσο τα στοιχεία του πίνακα 369#369 όσο και τα στοιχεία του του διανύσματος 365#365 του δεξιού μέλους να είναι αμφισβητούμενα, τότε η ελαχιστοποίηση των καθέτων αποστάσεων ανάμεσα στα στοιχεία των δεδομένων και την κατάλληλη καμπύλη μπορεί να μην είναι πια κατάλληλη. Το να ελαχιστοποιούμε τις ορθογώνιες αποστάσεις μεταξύ των στοιχείων των δεδομένων και της καμπύλης είναι μία λογική εναλλακτική λύση. Παράγει ένα πιο πολύπλοκο υπολογιστικό πρόβλημα, αλλά και ένα εύκολο στη λύση του πρόβλημα αφού χρησιμοποιεί τη μέθοδο ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής (βλ. Ενότητα 4.5.2). Για μία ολοκληρωμένη παρουσίαση αυτής της άποψης, που λέγεται ολοκληρωμένα ελάχιστα τετράγωνα, δείτε το [259]

ΕΡΩΤΗΣΕΙΣ ΕΠΑΝΑΛΗΨΗΣ


901#901


902#902


903#903

ΥΠΟΛΟΓΙΣΤΙΚΑ ΠΡΟΒΛΗΜΑΤΑ


904#904


Manolis Vavalis 2000-03-24