next up previous contents
Next: ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟ Up: ΙΔΙΑΖΟΥΣΕΣ ΤΙΜΕΣ Previous: Εφαρμογές της   Contents

ΛΟΓΙΣΜΙΚΟ ΓΙΑ ΙΔΙΟΤΙΜΕΣ

Ο πίνακας 4.1 είναι μία λίστα ενός μέρους του λογισμικού που είναι διαθέσιμο για προβλήματα ιδιοτιμών. Οι ρουτίνες που απαριθμούνται είναι στις περισσότερες περιπτώσεις οδηγοί υψηλού επιπέδου των οποίων οι βασικές ρουτίνες μπορούν και αυτές να κληθούν απ' ευθείας σε περίπτωση που απαιτούνται μεγαλύτερες δυνατότητες ελέγχου από τον χρήστη. Απαριθμούνται μόνο οι πιο περιεκτικές και πιο συνηθισμένες καταστάσεις, και μόνο για πραγματικούς πίνακες. Υπάρχουν και πολλές ακόμα ρουτίνες που είναι διαθέσιμες με αυτά τα πακέτα, συμπεριλαμβανομένων ρουτινών για πολύπλοκους πίνακες και για ποικίλες ειδικές καταστάσεις, όπως στην περίπτωση που χρειάζονται μόνο οι ιδιοτιμές και όχι τα ιδιοδιανύσματα, ή στην περίπτωση που μόνο μερικές ιδιοτιμές χρειάζονται, ή στην περίπτωση που ο πίνακας έχει κάποια ειδική ιδιότητα, όπως το να είναι (?banded = μακρόστενος?). Ακόμα, είναι διαθέσιμες ρουτίνες τόσο για συμμετρικά όσο και για ασύμετρα γενικευμένα προβλήματα ιδιοτιμών. Ο 999#999 και ο διάδοχός του 1000#1000 είναι τα επίσημα πακέτα λογισμικού για τα απλά προβλήματα εύρεσης ιδιοτιμών, ενώ οι ρουτίνες εύρεσης ιδιοτιμών για τις περισσότερες από τις άλλες βιβλιοθήκες βασίζονται σε αυτές.

Το συνηθισμένο λογισμικό για τον υπολογισμό ιδιοτιμών είναι αρκετά πολύπλοκο, ειδικά αν είναι εξίσου πολύπλοκες και οι ιδιοτιμές. Η συνήθης προσέγγιση, η επανάληψη 8#8, τυπικά δαιρείται σε ξεχωριστές ρουτίνες για την αρχική απλοποίηση σε τρισδιάστατη μορφή ή σε μορφή 1001#1001, και στη συνέχεια εφαρμόζεται η επανάληψη 8#8 για τον υπολογισμό των ιδιοτιμών. Οι παρόμοιοι ορθογώνιοι ή μοναδιαίοι μετασχηματισμοί μπορεί να είναι ή και να μην είναι συσσωρευμένοι (?), αναλόγως, αν χρειάζονται και οι ιδιοτιμές ή όχι.


Table: Λογισμικό για τυπικά, απλά προβλήματα υπολογισμού ιδιοτιμών
  Ιδιοτιμές/Ιδιοδιανύσματα Ανάλυση
Λογισμικό Γενικά Συμμετρικά Ιδιάζουσας Τιμής
EISPACK rg rs svd
FMM     svd
HSL eb06 ea06 eb10
IMSL evcrg evcsf lsvrr
LAPACK sgeev ssyev sgesvd
Lawson/Hanson [163]     svdrs
LINPACK     ssvdc
MATLAB eig eig svd
NAG f02agf f02abf f02wef
NAPACK diag sdiag sing
NR elmhes/hqr tred2/tqli svdcmp
NUMAL comeigl qrisym qrisngvaldec
SLATEC rg rs ssvdc


Εξαιτίας της πολυπλοκότητας των βασικών ρουτινών, συχνά παρέχονται οδηγοί υψηλότερου επιπέδου για εφαρμογές οι οποίες δεν απαιτούν εξαιρετικό έλεγχο. Τυπικά, τα δεδομένα που απαιτούνται αποτελούν μία διδιάστατη διάταξη που περιέχει τον πίνακα, μαζί με πληροφορίες για το μέγεθος του πίνακα και της διάταξης που τον περιέχει. Οι ιδιοτιμές επιστρέφονται σε μία ή δύο μονοδιάστατες διατάξεις, αναλόγος με το αν είναι πραγματικές ή μιγαδικές, και οι κανονικοποιημένες ιδιοτιμές, αν αυτό απαιτείται, επιστρέφονται αναλόγως σε μία ή δύο διδιάστατες διατάξεις. Ανάλογες αναφορές απευθύνονται σε λογισμικό για τον υπολογισμό της ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής με τη διαφορά ότι πρέπει να παρέχονται οι διατάξεις τόσο για τα αριστερά όσο και για τα δεξιά ιδιοδιανύσματα, αν αυτό ζητείται, και η ανάλυση είναι πάντα πραγματική αν ο πίνακας δεδομένων είναι πραγματικός.

Όπως συνήθως, η ζωή μας γίνεται πιο εύκολη όταν χρησιμοποιούμε ένα διαλογικό περιβάλλον όπως το 1002#1002 στο οποίο οι συναρτήσεις για τους υπολογισμούς των ιδιοτιμών είναι ενσωματωμένες. Ένας διαγώνιος πίνακας ιδιοτιμών 406#406 και ένας πλήρης πίνακας ιδιοδιανυσμάτων 592#592 ενός (πραγματικού ή μιγαδικού) πίνακα 369#369 δίνονται από τη συνάρτηση του 1003#1003. Εσωτερικά, οι ιδιοτιμές και τα ιδιοδιανύσματα υπολογίζονται από την απαλοιφή 1001#1001 και στη συνέχεια την επανάληψη 8#8 για να πάρουμε τον πίνακα στη μορφή 1004#1004, αλλά ο χρήστης δε χρειάζεται να το ξέρει αυτό. Αν χρειάζονται ρητά οι μορφές 1001#1001 ή 1004#1004 μπορούμε να τις υπολογίσουμε από τις συναρτήσεις του 1002#1002 1005#1005. Η συνάρτηση του 1002#1002 για τον υπολογισμό της ανάλυσης της ιδιάζουσας τιμής έχει τη μορφή 1006#1006.

Σχετικά με λογισμικό το οποίο υλοποιεί τον αλγόριθμο 11#11 για αραιά συμμετρικά προβλήματα ιδιοτιμών, δείτε τη συνάρτηση 1007#1007 από την 138#138, την 1008#1008 από την βιβλιοθήκη 1009#1009, την 1010#1010 από την 1011#1011, ή το λογισμικό που εκδόθηκε στο [46]. Επιπρόσθετα, η μέθοδος 1012#1012 για μεγάλα αραιά μη συμμετρικά προβλήματα ιδιοτιμών υλοποιείται στο 1013#1013, και η μέθοδος 11#11 για τον υπολογισμό ιδιοτιμών και ιδιοδιανυσμάτων μεγάλων, αραιών πινάκων υλοποιείται στο 1014#1014, ενώ και τα δύο παραπάνω διατίθενται από το 138#138. Για την επίλυση πλήρων προβλημάτων ελαχίστων τετραγώνων, διατίθεται το 1015#1015 από το 138#138.


next up previous contents
Next: ΙΣΤΟΡΙΚΕΣ ΣΗΜΕΙΩΣΕΙΣ ΚΑΙ ΕΠΙΠΡΟΣΘΕΤΟ Up: ΙΔΙΑΖΟΥΣΕΣ ΤΙΜΕΣ Previous: Εφαρμογές της   Contents
Manolis Vavalis 2000-03-24